Encontre todos os valores de e , se houver, para os quais o sistema
tem uma única solução e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z) e duas incógnitas nos parâmetros (a e b). Nosso objetivo é encontrar os valores de a e b que fazem com que esse sistema tenha uma única solução.
Conteúdo da matéria: Vamos usar sistemas lineares e determinantes para verificar se o sistema tem solução única.
O que vamos precisar:
Montar a matriz dos coeficientes.
Calcular o determinante dessa matriz.
Garantir que o determinante seja diferente de zero para ter uma solução única.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa pegar os números que multiplicam as incógnitas nas equações:
a+1 & a & -1 0 & a+1 & 1 a+1 & 3a+2 & 1
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se a matriz é inversível. Se o determinante for diferente de zero, então existe uma única solução para o sistema.
(-2a^2 + a^2 + a^2) + (-2a -a + a + 2a) + (-1 +1) = 0
Então, o determinante é 0.
Passo 4
Como o determinante da matriz dos coeficientes é zero, isso significa que a matriz não é inversível, e portanto, o sistema não tem uma única solução. Pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo dos valores de b.
Passo 5
Para garantir que o sistema não fique sem solução, vamos verificar se há alguma condição sobre b que permita soluções infinitas.
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema.
Primeira equação:
(a+1)x + a y - z = -1
Segunda equação:
(a+1)y + z = 1
Terceira equação:
(a+1)x + (3a+2)y + z = -1 - b
Vamos resolver a segunda equação para z:
z = 1 - (a+1)y
Agora, substituímos z na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
(a+1)x + a y - [1 - (a+1)y] = -1
Simplificando:
(a+1)x + a y -1 + (a+1)y = -1
(a+1)x + (a + a +1)y = 0
(a+1)x + (2a +1)y = 0
Terceira equação:
(a+1)x + (3a+2)y + [1 - (a+1)y] = -1 - b
Simplificando:
(a+1)x + (3a+2)y +1 - (a+1)y = -1 - b
(a+1)x + (3a+2 -a -1)y +1 = -1 - b
(a+1)x + (2a +1)y = -2 - b
Agora, temos um sistema com duas equações:
(a+1)x + (2a +1)y = 0
(a+1)x + (2a +1)y = -2 - b
Passo 6
Observamos que as duas equações são iguais no lado esquerdo, mas têm resultados diferentes:
(a+1)x + (2a +1)y = 0
(a+1)x + (2a +1)y = -2 - b
Isso só é possível se -2 - b = 0, ou seja:
-2 - b = 0 Rightarrow b = -2
Passo 7
Então, para que o sistema tenha pelo menos uma solução, precisamos que b = -2.
Mas lembrando que o determinante era zero, isso significa que, quando b = -2, o sistema tem infinitas soluções. Não há valores de a que mudem isso, pois o determinante sempre será zero independente de a.
Resposta
Não existe nenhum par de valores (a, b) que torne o sistema de equações dado com uma única solução. Para b = -2, o sistema possui infinidadas soluções, mas nunca uma solução única.