Encontre todos os valores de a e b, se houver, para os quais o sistema
(a+1) x+ a y-z & =-1 (a+1) y+z & =1 (a+1) x+(3 a+2) y+z & =-1-b
tem uma única solução e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z) e duas incógnitas nos parâmetros ( a e b). Nosso objetivo é encontrar os valores de a e b que fazem com que esse sistema tenha uma única solução.
Conteúdo da matéria: Vamos usar sistemas lineares e determinantes para verificar se o sistema tem solução única.
O que vamos precisar:
  • Montar a matriz dos coeficientes.
  • Calcular o determinante dessa matriz.
  • Garantir que o determinante seja diferente de zero para ter uma solução única.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa pegar os números que multiplicam as incógnitas nas equações:
a+1 & a & -1 0 & a+1 & 1 a+1 & 3a+2 & 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se a matriz é inversível. Se o determinante for diferente de zero, então existe uma única solução para o sistema.
Vamos calcular o determinante:
a+1 & a & -1 0 & a+1 & 1 a+1 & 3a+2 & 1
Expandindo pelo primeiro elemento:
(a+1) cdot a+1 & 1 3a+2 & 1 - a cdot 0 & 1 a+1 & 1 -1 cdot 0 & a+1 a+1 & 3a+2
Calculando cada determinante menor:
  1. Para (a+1):
(a+1)(1) - (1)(3a+2) = a+1 - 3a -2 = -2a -1
  1. Para -a:
0 cdot 1 - 1 cdot (a+1) = 0 - (a+1) = -a -1
  1. Para -1:
0 cdot (3a+2) - (a+1)(a+1) = 0 - (a+1)^2 = -(a^2 + 2a +1)
Agora, substituindo na expressão do determinante:
(a+1)(-2a -1) - a(-a -1) -1(-a^2 - 2a -1)
Simplificando:
-2a(a+1) -1(a+1) + a^2 + a + a^2 + 2a +1
-2a^2 -2a -a -1 + a^2 + a + a^2 + 2a +1
Somando os termos semelhantes:
(-2a^2 + a^2 + a^2) + (-2a -a + a + 2a) + (-1 +1) = 0
Então, o determinante é 0.

Passo 4

Como o determinante da matriz dos coeficientes é zero, isso significa que a matriz não é inversível, e portanto, o sistema não tem uma única solução. Pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo dos valores de b.

Passo 5

Para garantir que o sistema não fique sem solução, vamos verificar se há alguma condição sobre b que permita soluções infinitas.
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema.
Primeira equação:
(a+1)x + a y - z = -1
Segunda equação:
(a+1)y + z = 1
Terceira equação:
(a+1)x + (3a+2)y + z = -1 - b
Vamos resolver a segunda equação para z:
z = 1 - (a+1)y
Agora, substituímos z na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
(a+1)x + a y - [1 - (a+1)y] = -1
Simplificando:
(a+1)x + a y -1 + (a+1)y = -1
(a+1)x + (a + a +1)y = 0
(a+1)x + (2a +1)y = 0
Terceira equação:
(a+1)x + (3a+2)y + [1 - (a+1)y] = -1 - b
Simplificando:
(a+1)x + (3a+2)y +1 - (a+1)y = -1 - b
(a+1)x + (3a+2 -a -1)y +1 = -1 - b
(a+1)x + (2a +1)y = -2 - b
Agora, temos um sistema com duas equações:
  1. (a+1)x + (2a +1)y = 0
  2. (a+1)x + (2a +1)y = -2 - b

Passo 6

Observamos que as duas equações são iguais no lado esquerdo, mas têm resultados diferentes:
  1. (a+1)x + (2a +1)y = 0
  2. (a+1)x + (2a +1)y = -2 - b
Isso só é possível se -2 - b = 0, ou seja:
-2 - b = 0 Rightarrow b = -2

Passo 7

Então, para que o sistema tenha pelo menos uma solução, precisamos que b = -2.
Mas lembrando que o determinante era zero, isso significa que, quando b = -2, o sistema tem infinitas soluções. Não há valores de a que mudem isso, pois o determinante sempre será zero independente de a.

Resposta

Não existe nenhum par de valores (a, b) que torne o sistema de equações dado com uma única solução. Para b = -2, o sistema possui infinidadas soluções, mas nunca uma solução única.

Exercícios relacionados

Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
cx+2 z=0 -x+2 y+2 z=0 x+y+z=0
Classifique cada uma das afirmações abaixo em falsa (F) ou verdadeira (V), justificando sua resposta:
Sejam A uma matriz m times n e B uma matriz m times 1. Se A X=0 tem somente a solução trivial, A X=B tem solução única.
Verifique se as seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida.
[lll1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0]
Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
c2 x+y+4 z+w=-5 2 x+8 y-10 z+8 w=2 -9 z+2 w=2 4 x+y+6 z+5 w=-3 4 x+5 y-8 z+8 w=-3