Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
k) f(x)=e^-x senh(5 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa transformada de Laplace juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de .
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Vamos precisar saber como transformar funções que têm exponenciais e funções hiperbólicas, como a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace:
Lf(x)(p) = integral0^infty e^-p x f(x) , dx
No nosso caso, . Isso significa que vamos substituir Le^-x , senh(5x)(p) = integral0^infty e^-p x cdot e^-x , senh(5x) , dx na integral:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que integral0^infty e^-(p + 1)x , senh(5x) , dx . Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos lembrar de uma fórmula padrão da transformada de Laplace para funções do tipo . A fórmula é:
No nosso caso, Le^a x senh(b x)(p) = b(p - a)^2 - b^2 (porque temos ) e . Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 5

Substituindo Le^-x senh(5x)(p) = 5(p - (-1))^2 - 5^2 = 5(p + 1)^2 - 25 e na fórmula, temos:

Passo 6

Vamos simplificar o denominador:
(p + 1)^2 - 25 = p^2 + 2p + 1 - 25 = p^2 + 2p - 24
Então, a transformada de Laplace fica:

Resposta

A transformada de Laplace de é:
F(p) = 5p^2 + 2p - 24

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
h) f(x)=cos (2 pi x)
9
Resolva, usando transformada de Laplace, o seguinte (P.V.I)
l y^prime prime+4 y^prime+13 y=2 x+3 e^-2 x cos (3 x) y(0)=0, y^prime(0)=-1
(Resp. y=-8169+213 x+8169 e^-2 x cos (3 x)-179507 e^-2 x sin (3 x)+ 12 x e^-2 x sin (3 x))
Dada F(p)=Lf(x), obtenha f(x). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
d) 102 p+raiz2
Dada F(p)=Lf(x), obtenha f(x). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
j) 1(p+a)(p+b)