Resolva:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente tratando de equações exatas ou que podem ser tornadas exatas usando um fator integrante. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão das equações diferenciais exatas:
Onde:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Se essas duas derivadas forem iguais, a equação é exata. Vamos comparar:
Como não são iguais, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Um fator integrante comum �� uma função que depende apenas de ou apenas de . Vamos tentar encontrar um fator que depende apenas de .
A fórmula para o fator integrante quando a diferença das derivadas dividido por é função de é:
Vamos calcular:
Isso é uma função de , então podemos encontrar :

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 6

Agora, a equação está exata. Vamos encontrar uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de .
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

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