Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
d)
;
d)
Passo 1
Então, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por
. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como manipular a equação para encontrar a solução geral e depois verificar se nossa solução está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais manejável. Temos:
Podemos reorganizar os termos para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
, ficamos com:
Passo 3
Agora, percebemos que essa é uma equação diferencial separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Vamos reorganizar para isso:
Passo 4
Integrando ambos os lados para encontrar
em função de
:
A integral de
é
e a integral de
é
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para encontrar
:
Podemos reescrever isso exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como
é apenas uma constante positiva, podemos renomeá-la como
:
Ou, de forma equivalente:
onde
é uma constante real qualquer.
Passo 6
Agora, vamos verificar nossa solução substituindo
de volta na equação original para garantir que tudo está correto.
Substituindo:
Calculamos
:
Substituindo na equação:
Como a equação se iguala a zero, nossa solução está correta.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante real qualquer.
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4
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
Obter as soluções gerais das EDO de
a)
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
j) ;
j)
Resolva: