Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
d) ;

Passo 1

Então, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como manipular a equação para encontrar a solução geral e depois verificar se nossa solução está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais manejável. Temos:
Podemos reorganizar os termos para isolar :
Dividindo ambos os lados por , ficamos com:

Passo 3

Agora, percebemos que essa é uma equação diferencial separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação. Vamos reorganizar para isso:

Passo 4

Integrando ambos os lados para encontrar em função de :
A integral de é e a integral de é :
onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para encontrar :
Podemos reescrever isso exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como é apenas uma constante positiva, podemos renomeá-la como :
Ou, de forma equivalente:
onde é uma constante real qualquer.

Passo 6

Agora, vamos verificar nossa solução substituindo de volta na equação original para garantir que tudo está correto.
Substituindo:
Calculamos :
Substituindo na equação:
Como a equação se iguala a zero, nossa solução está correta.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante real qualquer.

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Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor .
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
j) ;
Resolva: