Resolva
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
para
. Aqui estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar o método de Bernoulli para resolver. Basicamente, vamos transformar essa equação numa forma que seja mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais clara:
Podemos dividir cada termo do numerador por
:
Agora, a equação fica:
Isso se parece com a forma padrão de uma equação de Bernoulli:
Onde, neste caso,
,
, e
.
Passo 3
O método de Bernoulli funciona bem quando temos uma equação nessa forma. A ideia é fazer uma substituição que transforma a equação num modelo linear. Vamos definir uma nova variável
da seguinte forma:
Isso significa que:
Queremos expressar a equação em termos de
.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Agora, substituímos
da equação original:
Então,
Mas
, então
. Substituindo:
Agora temos uma equação linear em
:
Passo 5
Para resolver essa equação linear, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, então:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada
Em cada exercício abaixo verifique se
existe. Justifique a sua resposta.
Seja
a população de camarões na lagoa dos Patos, supondo que os camarões são capturados a uma taxa constante
camarões por semana e a população satisfaz a equação logística
onde
e
.
Prove que se a população inicial é menor que , os camarões se extingem em um tempo finito, porém se
a população tende a
quando
cresce.
Prove que se a população inicial é menor que
Sem resolver a equação diferencial
, faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.