Resolva y' = (4 y x + 3 y^2) / x^2, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial para . Aqui estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar o método de Bernoulli para resolver. Basicamente, vamos transformar essa equação numa forma que seja mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais clara:
Podemos dividir cada termo do numerador por :
Agora, a equação fica:
Isso se parece com a forma padrão de uma equação de Bernoulli:
Onde, neste caso, , , e .

Passo 3

O método de Bernoulli funciona bem quando temos uma equação nessa forma. A ideia é fazer uma substituição que transforma a equação num modelo linear. Vamos definir uma nova variável da seguinte forma:
Isso significa que:
Queremos expressar a equação em termos de .

Passo 4

Vamos derivar em relação a :
Agora, substituímos da equação original:
Então,
Mas , então . Substituindo:
Agora temos uma equação linear em :

Passo 5

Para resolver essa equação linear, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Isso dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , então:

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial dada y ln(x) d/dy x = ((y+1)/x)^2
Em cada exercício abaixo verifique se lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe. Justifique a sua resposta.
f(x, y)=x^2+y^3x^2+y^2
Seja y(t) a população de camarões na lagoa dos Patos, supondo que os camarões são capturados a uma taxa constante R camarões por semana e a população satisfaz a equação logística
y' = (a - b * y) * y - R
onde a > 0, b > 0 e R > 0.
Prove que se a população inicial é menor que y(0) < y1 < y2, os camarões se extingem em um tempo finito, porém se y(0) > y1 a população tende a y2 quando t cresce.
Sem resolver a equação diferencial y' = sen(y), faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.