Em cada exercício abaixo verifique se lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe. Justifique a sua resposta.
f(x, y)=x^2+y^3x^2+y^2

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos descobrir se o limite dessa função existe quando o ponto se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam em funções de duas variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que escolhemos para nos aproximar de .

Passo 2

Vamos começar analisando a função . Queremos ver o que acontece com quando se aproxima de .

Passo 3

Uma maneira comum de verificar se o limite existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto . Se obtivermos o mesmo valor para todos os caminhos, o limite provavelmente existe e é igual a esse valor. Se obtivermos valores diferentes, o limite não existe.

Passo 4

Vamos primeiro calcular o limite ao longo do eixo f(x, 0) = x^2 + 0^3x^2 + 0^2 = x^2x^2 = 1 . Nesse caso, , então a função fica:
Então, o limite ao longo do eixo é 1.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo f(0, y) = 0^2 + y^30^2 + y^2 = y^3y^2 = y . Nesse caso, , então a função fica:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Portanto, o limite ao longo do eixo é 0.

Passo 6

Observamos que ao calcular o limite ao longo de dois caminhos diferentes, obtivemos valores distintos: 1 e 0. Isso indica que o limite pode depender do caminho escolhido para se aproximar de .

Passo 7

Para confirmar que o limite realmente não existe, podemos escolher outro caminho. Por exemplo, considere a linha f(x, x) = x^2 + x^3x^2 + x^2 = x^2(1 + x)2x^2 = 1 + x2 . Substituindo por na função, temos:
Quando se aproxima de 0, se aproxima de .

Passo 8

Agora, temos três limites diferentes ao longo de três caminhos diferentes: 1, 0 e . Como esses valores são diferentes, isso confirma que o limite de quando se aproxima de não existe.

Resposta

O limite não existe, pois os valores dos limites dependem do caminho escolhido para se aproximar de .

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