Em cada exercício abaixo verifique se
existe. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos descobrir se o limite dessa função existe quando o ponto
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam em funções de duas variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que escolhemos para nos aproximar de
.
Passo 2
Vamos começar analisando a função
. Queremos ver o que acontece com
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Uma maneira comum de verificar se o limite existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto
. Se obtivermos o mesmo valor para todos os caminhos, o limite provavelmente existe e é igual a esse valor. Se obtivermos valores diferentes, o limite não existe.
Passo 4
Vamos primeiro calcular o limite ao longo do eixo
. Nesse caso,
, então a função fica:
Então, o limite ao longo do eixo
é 1.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo
. Nesse caso,
, então a função fica:
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Portanto, o limite ao longo do eixo
é 0.
Passo 6
Observamos que ao calcular o limite ao longo de dois caminhos diferentes, obtivemos valores distintos: 1 e 0. Isso indica que o limite pode depender do caminho escolhido para se aproximar de
.
Passo 7
Para confirmar que o limite realmente não existe, podemos escolher outro caminho. Por exemplo, considere a linha
. Substituindo
por
na função, temos:
Quando
se aproxima de 0,
se aproxima de
.
Passo 8
Agora, temos três limites diferentes ao longo de três caminhos diferentes: 1, 0 e
. Como esses valores são diferentes, isso confirma que o limite de
quando
se aproxima de
não existe.
Resposta
O limite
não existe, pois os valores dos limites dependem do caminho escolhido para se aproximar de
.