Seja
a população de camarões na lagoa dos Patos, supondo que os camarões são capturados a uma taxa constante
camarões por semana e a população satisfaz a equação logística
onde
e
.
Prove que se a população inicial é menor que
, os camarões se extingem em um tempo finito, porém se
a população tende a
quando
cresce.
Prove que se a população inicial é menor que
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve a população de camarões na Lagoa dos Patos:
Aqui,
,
e
são constantes positivas. O objetivo é provar duas coisas:
- Se a população inicial
for menor que certos valores , os camarões vão se extinguir em um tempo finito. - Se a população inicial
for maior que , a população tende a quando o tempo aumenta.
Para resolver isso, vamos precisar entender as equações diferenciais logísticas e como elas se comportam, além de analisar os pontos de equilíbrio da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise:
Essa é uma equação logística modificada devido ao termo constante
, que representa a taxa de captura constante de camarões por semana.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de equilíbrio, ou seja, os valores de
que tornam
:
Podemos rearranjar essa equação para:
Essa é uma equação quadrática em
, cuja solução nos dará os pontos de equilíbrio
e
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Para que tenhamos pontos reais de equilíbrio, o discriminante
deve ser positivo, ou seja,
.
Passo 5
Assumindo que
, temos dois pontos de equilíbrio reais:
Onde
.
Passo 6
Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos de equilíbrio. Para isso, observamos o sinal de
em diferentes regiões:
- Para
: , então a população diminui. - Para
: , então a população aumenta. - Para
: , então a população diminui.
Passo 7
Isso significa que:
- Se a população inicial
, a população continuará diminuindo até chegar a zero. Como a taxa de diminuição é constante, isso ocorre em um tempo finito. - Se a população inicial
, a população tende a crescer até atingir o ponto de equilíbrio estável conforme o tempo aumenta.
Resposta
Portanto, provamos que se a população inicial
, os camarões se extinguem em um tempo finito. Por outro lado, se
, a população tende a
conforme o tempo cresce.
Exercícios relacionados
Resolva
Resolva a equação diferencial dada
Sem resolver a equação diferencial
, faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
Suponha que a superfície
e a curva
satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes no espaço. Dadas as funções suaves
, demonstre que
Em seguida, conclua que
Sugestão: Inicialmente, prove que para todo campo vetorial suave
, vale a identidade
.