Seja y(t) a população de camarões na lagoa dos Patos, supondo que os camarões são capturados a uma taxa constante R camarões por semana e a população satisfaz a equação logística
y' = (a - b * y) * y - R
onde a > 0, b > 0 e R > 0.
Prove que se a população inicial é menor que y(0) < y1 < y2, os camarões se extingem em um tempo finito, porém se y(0) > y1 a população tende a y2 quando t cresce.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve a população de camarões na Lagoa dos Patos:
Aqui, , e são constantes positivas. O objetivo é provar duas coisas:
  1. Se a população inicial for menor que certos valores , os camarões vão se extinguir em um tempo finito.
  2. Se a população inicial for maior que , a população tende a quando o tempo aumenta.
Para resolver isso, vamos precisar entender as equações diferenciais logísticas e como elas se comportam, além de analisar os pontos de equilíbrio da equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise:
Essa é uma equação logística modificada devido ao termo constante , que representa a taxa de captura constante de camarões por semana.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de equilíbrio, ou seja, os valores de que tornam :
Podemos rearranjar essa equação para:
Essa é uma equação quadrática em , cuja solução nos dará os pontos de equilíbrio e .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Para que tenhamos pontos reais de equilíbrio, o discriminante deve ser positivo, ou seja, .

Passo 5

Assumindo que , temos dois pontos de equilíbrio reais:
Onde .

Passo 6

Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos de equilíbrio. Para isso, observamos o sinal de em diferentes regiões:
  • Para : , então a população diminui.
  • Para : , então a população aumenta.
  • Para : , então a população diminui.

Passo 7

Isso significa que:
  • Se a população inicial , a população continuará diminuindo até chegar a zero. Como a taxa de diminuição é constante, isso ocorre em um tempo finito.
  • Se a população inicial , a população tende a crescer até atingir o ponto de equilíbrio estável conforme o tempo aumenta.

Resposta

Portanto, provamos que se a população inicial , os camarões se extinguem em um tempo finito. Por outro lado, se , a população tende a conforme o tempo cresce.

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