Resolva a equação diferencial dada
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial que envolve funções de
e
. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos dar um passo de cada vez!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a manipulação. A equação original é:
Vamos simplificar o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Simplificando a expressão:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos tentar separar as variáveis
e
. Vamos rearranjar os termos para colocar todas as expressões com
de um lado e com
do outro:
Assim, conseguimos separar as variáveis!
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, a parte de
:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes. Seja
e
. Então,
e
. Aplicando a fórmula de integração por partes:
Portanto:
Agora, a parte de
:
Vamos expandir o numerador:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Igualando as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.