Resolva a equação diferencial dada y ln(x) d/dy x = ((y+1)/x)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial que envolve funções de e . Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos dar um passo de cada vez!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a manipulação. A equação original é:
Vamos simplificar o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos isolar . Para isso, dividimos ambos os lados por :
Simplificando a expressão:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos tentar separar as variáveis e . Vamos rearranjar os termos para colocar todas as expressões com de um lado e com do outro:
Assim, conseguimos separar as variáveis!

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, a parte de :
Para resolver essa integral, usamos integração por partes. Seja e . Então, e . Aplicando a fórmula de integração por partes:
Portanto:
Agora, a parte de :
Vamos expandir o numerador:
Integrando termo a termo:

Passo 6

Igualando as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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