Resolver as equações de Bernoulli:
Passo 1
Então, a gente tem a equação diferencial de Bernoulli:
. A matéria aqui é equações diferenciais, especificamente as equações de Bernoulli. Vamos precisar transformar essa equação em uma forma mais simples para resolver, usando uma substituição que facilita o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro o que a gente tem:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
As equações de Bernoulli têm a forma geral:
Comparando com a nossa equação:
Passo 4
Para resolver uma equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Vamos definir:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Então, podemos expressar
em termos de
e
:
Passo 6
Substituindo
na equação original:
Vamos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Lembrando que
, então
:
Multiplicando toda a equação por -2 para simplificar:
Passo 7
Agora temos uma equação linear em
:
Para resolver isso, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada de
:
Passo 9
Integrando ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Então:
Passo 10
Dividindo toda a equação por
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 11
Resolvendo para
:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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