Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de variáveis separáveis juntos! O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve derivadas e funções exponenciais. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos permite organizar a equação de forma que todas as expressões com
fiquem de um lado e as com
do outro. Isso facilita a integração e a obtenção da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Observe que
é comum nos dois termos do lado direito. Podemos fatorar isso:
Agora, vamos isolar
:
Simplificando mais:
Passo 3
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
. Para isso, vamos reorganizar os termos:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
para conseguir separar as variáveis.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é que, após a separação, possamos integrar cada lado independentemente.
Passo 5
Vamos resolver as integrais uma por uma. Começando pela integral da esquerda:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde definimos:
Aplicando a integração por partes:
Então,
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Separando as integrais:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Agora, juntamos as integrais resolvidas:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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