Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
(c) e^x y dy/dx = e^-y + e^(-2 x - y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de variáveis separáveis juntos! O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve derivadas e funções exponenciais. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos permite organizar a equação de forma que todas as expressões com fiquem de um lado e as com do outro. Isso facilita a integração e a obtenção da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Observe que é comum nos dois termos do lado direito. Podemos fatorar isso:
Agora, vamos isolar :
Simplificando mais:

Passo 3

Nosso objetivo é separar as variáveis e . Para isso, vamos reorganizar os termos:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por para conseguir separar as variáveis.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é que, após a separação, possamos integrar cada lado independentemente.

Passo 5

Vamos resolver as integrais uma por uma. Começando pela integral da esquerda:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde definimos:
Aplicando a integração por partes:
Então,

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Separando as integrais:
Integrando termo a termo:

Passo 7

Agora, juntamos as integrais resolvidas:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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b y' - 4y = y^3
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sumn=1^infty n e^-n^2
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(b) (x^2 - x*y) dx + (y^2 - x*y) dy = 0
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c x^3 dx + y^3 dy = 0