Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty n e^-n^2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa usar o teste da integral para verificar se a série infinita converge ou diverge. O teste da integral é uma técnica matemática que ajuda a determinar o comportamento de séries através de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o teste da integral. Ele é aplicado a séries da forma , onde é uma função positiva, contínua e decrescente para todo , sendo algum número natural. O teste diz que:
  • Se a integral de de até o infinito for finita, então a série converge.
  • Se a integral for infinita, então a série diverge.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série . Primeiro, identificamos a função . Precisamos verificar se é:
  1. Positiva: para todo .
  2. Contínua: A função é contínua para .
  3. Decrescente: Vamos verificar se para .

Passo 4

Calculando a derivada de f'(x) = ddx(x e^-x^2) = e^-x^2 + x cdot (-2x e^-x^2) = e^-x^2 - 2x^2 e^-x^2 = e^-x^2 (1 - 2x^2) :
Para , , então . Assim, , mostrando que é decrescente.

Passo 5

Agora que verificamos que integral1^infty x e^-x^2 dx atende aos critérios do teste da integral, vamos calcular a integral de de 1 até o infinito:

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja integralx=1^x=infty x e^-x^2 dx = -12 integralu=-1^u=-infty e^u du = 12 integralu=-infty^u=-1 e^u du , então ou . Assim, a integral fica:

Passo 7

Calculando a integral:
12 integral-infty^-1 e^u du = 12 [ e^u ]-infty^-1 = 12 (e^-1 - 0) = e^-12 = 12e

Passo 8

Como a integral é finita ( ), de acordo com o teste da integral, a série converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

Exercícios relacionados

Resolver as integrais indefinidas abaixo usando o método de substituição trigonométrica.
integral x^3raizx^2-9 d x
Considere a equação
d y/d x = (y - 4 x)/(x - y)
(e) Verifique que a EDO encontrada para v é separável e resolva-a.
Resolver as equações de Bernoulli:
b y' - 4y = y^3
Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
(c) e^x y dy/dx = e^-y + e^(-2 x - y)