Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa usar o teste da integral para verificar se a série infinita
converge ou diverge. O teste da integral é uma técnica matemática que ajuda a determinar o comportamento de séries através de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o teste da integral. Ele é aplicado a séries da forma
, onde
é uma função positiva, contínua e decrescente para todo
, sendo
algum número natural. O teste diz que:
- Se a integral de
de até o infinito for finita, então a série converge. - Se a integral for infinita, então a série diverge.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série
. Primeiro, identificamos a função
. Precisamos verificar se
é:
- Positiva:
para todo . - Contínua: A função
é contínua para . - Decrescente: Vamos verificar se
para .
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Para
,
, então
. Assim,
, mostrando que
é decrescente.
Passo 5
Agora que verificamos que
atende aos critérios do teste da integral, vamos calcular a integral de
de 1 até o infinito:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Assim, a integral fica:
Passo 7
Calculando a integral:
Passo 8
Como a integral
é finita (
), de acordo com o teste da integral, a série
converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.
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(e) Verifique que a EDO encontrada para
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