Resolver as integrais indefinidas abaixo usando o método de substituição trigonométrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
usando substituição trigonométrica. Esse tipo de substituição é útil quando temos expressões com raízes quadradas envolvendo quadrados, como
. Vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz
. Notamos que
se parece com
onde
. Então, vamos deixar
. Assim:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, precisamos integrar
. Sabemos que:
E como
, então:
Passo 8
Multiplicando pelo 27:
Lembrando que
:
Passo 9
Agora, vamos voltar para
. Sabemos que
, então
e
.
Substituindo na expressão:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Considere a equação
(e) Verifique que a EDO encontrada para
é separável e resolva-a.
Para os itens a seguir, encontre a solução do problema de valor inicial. Em seguida, desenhe o gráfico da solução (para desenhar o gráfico use um computador se achar necessário).
(a) Res:
(a)
Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Resolver as equações de Bernoulli: