Considere as superfícies:
S1: A parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 com y <= 0
S2: O cilindro elíptico x^2 + 4y^2 = 1 com z em R;
S3 : A parte da sela z - x^2 + y^2 = 0 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 9;
S4 : A parte do plano 2 x + y + z = 2 que está no primeiro octante (x, y, z ≥ 0);
(a) Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar parametrizações de quatro superfícies geométricas diferentes. Basicamente, parametrização é uma maneira de descrever uma superfície usando duas variáveis, tipo e , que variam dentro de certos limites. Para isso, vamos precisar usar conceitos de esferas, cilindros, superfícies de sela e planos. Vamos resolver uma por uma, explicando cada passo.

Passo 2

Parametrização da superfície : Parte da esfera com .
Primeiro, sabemos que é a equação de uma esfera com raio 2 e centro na origem. Para parametrizar uma esfera, podemos usar coordenadas esféricas:
Aqui, é o ângulo polar (de 0 a ) e é o ângulo azimutal (de 0 a ).
No nosso caso, queremos apenas a parte da esfera onde . Observando a parametrização, . Para , precisamos que , ou seja, varia de a .
Então, os domínios para os parâmetros são:

Passo 3

Parametrização da superfície : Cilindro elíptico com .
Um cilindro elíptico tem a forma de uma elipse estendida ao longo do eixo . A equação sugere que a elipse tem semieixos de 1 na direção e na direção .
Para parametrizar, podemos usar um ângulo para definir a elipse e deixar como parâmetro livre:
Aqui, varia de 0 a para percorrer toda a elipse, e pode variar de a (ou dentro de algum intervalo específico se houver restrição, mas no enunciado está livre).
Então, os domínios são:

Passo 4

Parametrização da superfície : Parte da sela que está dentro do cilindro .
A equação da sela é . Queremos parametrizar essa superfície e restringi-la ao interior do cilindro .
Vamos usar coordenadas polares para facilitar, já que temos uma restrição circular:
Aqui, é a distância ao eixo , e é o ângulo. Como estamos dentro do cilindro , temos que .
Então, os domínios são:

Passo 5

Parametrização da superfície : Parte do plano que está no primeiro octante ( ).
Primeiro, vamos resolver a equação do plano para uma das variáveis, por exemplo, :
Para estar no primeiro octante, precisamos que , e , então:
Podemos usar e como parâmetros, definindo que varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a .
Então, a parametrizaç��o fica:
Com os domínios:

Resposta

Parametrizações das superfícies:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

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