Considere as superfícies: A parte da esfera com O cilindro elíptico com ; : A parte da sela que está dentro do cilindro ; : A parte do plano que está no primeiro octante ;
(a) Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar parametrizações de quatro superfícies geométricas diferentes. Basicamente, parametrização é uma maneira de descrever uma superfície usando duas variáveis, tipo e , que variam dentro de certos limites. Para isso, vamos precisar usar conceitos de esferas, cilindros, superfícies de sela e planos. Vamos resolver uma por uma, explicando cada passo.
Passo 2
Parametrização da superfície : Parte da esfera com .
Primeiro, sabemos que é a equação de uma esfera com raio 2 e centro na origem. Para parametrizar uma esfera, podemos usar coordenadas esféricas:
Aqui, é o ângulo polar (de 0 a ) e é o ângulo azimutal (de 0 a ).
No nosso caso, queremos apenas a parte da esfera onde . Observando a parametrização, . Para , precisamos que , ou seja, varia de a .
Então, os domínios para os parâmetros são:
Passo 3
Parametrização da superfície : Cilindro elíptico com .
Um cilindro elíptico tem a forma de uma elipse estendida ao longo do eixo . A equação sugere que a elipse tem semieixos de 1 na direção e na direção .
Para parametrizar, podemos usar um ângulo para definir a elipse e deixar como parâmetro livre:
Aqui, varia de 0 a para percorrer toda a elipse, e pode variar de a (ou dentro de algum intervalo específico se houver restrição, mas no enunciado está livre).
Então, os domínios são:
Passo 4
Parametrização da superfície : Parte da sela que está dentro do cilindro .
A equação da sela é . Queremos parametrizar essa superfície e restringi-la ao interior do cilindro .
Vamos usar coordenadas polares para facilitar, já que temos uma restrição circular:
Aqui, é a distância ao eixo , e é o ângulo. Como estamos dentro do cilindro , temos que .
Então, os domínios são:
Passo 5
Parametrização da superfície : Parte do plano que está no primeiro octante ().
Primeiro, vamos resolver a equação do plano para uma das variáveis, por exemplo, :
Para estar no primeiro octante, precisamos que , e , então:
Podemos usar e como parâmetros, definindo que varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a .