Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como isolar as variáveis
e
em lados diferentes da equação para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para expressar
.
Começamos com:
Podemos isolar
da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Queremos que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro lado.
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, temos:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 5
Juntando as integrais, temos:
Podemos simplificar as constantes
e
em uma única constante
, assim:
Passo 6
Para resolver a expressão para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Onde
é uma constante arbitrária.
Simplificando, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante arbitrária.
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Considere a equação
.
a) Verifique que, se e
são soluções da EDO acima, então
também o é.
b) Verifique que, se é solução da EDO acima, então, para qualquer constante
também é solução.
a) Verifique que, se
b) Verifique que, se
Encontre a solução dos PVIa)
.
b)
b)