Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
(1+x^2) dy - x y dx = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como isolar as variáveis y e x em lados diferentes da equação para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para expressar .
Começamos com:
Podemos isolar da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x. Queremos que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com x fiquem do outro lado.
Dividindo ambos os lados por y e multiplicando por , temos:

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Fazendo a substituição , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 5

Juntando as integrais, temos:
Podemos simplificar as constantes e em uma única constante C, assim:

Passo 6

Para resolver a expressão para y, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Onde é uma constante arbitrária.
Simplificando, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde K é uma constante arbitrária.

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sec^2(x) * tg(y) dx + sec^2(y) * tg(x) dy = 0
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(1+x^2) y^3 dx + (1-y^2) x^3 dy = 0
Considere a equação y' + p(t) y = 0.
a) Verifique que, se y1(t) e y2(t) são soluções da EDO acima, então y(t) = y1(t) + y2(t) também o é.
b) Verifique que, se y1(t) é solução da EDO acima, então, para qualquer constante c, y(t) = c * y1(t) também é solução.
Encontre a solução dos PVIa) y' + 1/4 y = 3 + 2 cos(2 t), y(0) = 0.
b) y' - y = 1 + 3 sen(t), y(0) = -5/2