Resolver o exercício número 12 do livro de Cálculo volume 1, edição de James Stewart da seção 2.2, página 87. (Digitado abaixo)
(12) Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de a para os quais existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico de uma função definida por partes e, a partir desse gráfico, descobrir para quais valores de o limite existe. A matéria envolvida aqui é de Limites de Funções e Funções Definidas por Partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar os limites laterais (quando se aproxima de pela esquerda e pela direita) e verificar se eles são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Essa é uma função definida por três partes, cada uma válida em um intervalo diferente de . Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função para visualizar seu comportamento.
Passo 3
Vamos analisar cada parte da função:
Para :
Essa é uma função linear com coeficiente angular e intercepto em . O gráfico será uma reta decrescente.
Para :
Aqui temos uma função linear simples com coeficiente angular e intercepto em . O gráfico é uma reta crescente.
Para :
Essa é uma função quadrática deslocada para a direita. O gráfico será uma parábola com vértice em .
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico combinando essas três partes:
Para : A reta passa por pontos como e .
Para : A reta passa por e .
Para : A parábola tem vértice em e se abre para cima.
No ponto e , precisamos verificar a continuidade.
Passo 5
Para determinar onde o limite existe, vamos verificar os limites laterais em e :
Em :
Limite pela esquerda:
Limite pela direita:
Como , o limite em não existe.
Em :
Limite pela esquerda:
Limite pela direita:
Como , o limite em não existe.
Passo 6
Para todos os outros valores de , que não sejam ou , a função é contínua e, portanto, o limite existe. Isso porque cada parte da função é contínua em seus respectivos intervalos.
Resposta
Os valores de para os quais existe são todos os reais menos e . Ou seja, o limite existe para todo exceto quando ou .