Questão 3)(Valor - 1,0 cada) Usando a Regra de Lc) lim x 0 x^2e^x-x-1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites, especificamente usando a Regra de L’Hospital. Para resolver, vamos precisar conhecer o comportamento das funções exponenciais próximas de zero e aplicar derivadas para simplificar o limite.

Passo 2

Primeiro, substituímos 0^2e^0-0-1 = 01-0-1 = 00 na expressão para verificar se é uma forma indeterminada:
Como obtemos a forma , podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador limx 0 2xe^x - 1 :
  • Derivada do denominador :
Agora, o limite fica:

Passo 4

Substituímos novamente 2 cdot 0e^0 - 1 = 01 - 1 = 00 para verificar se ainda é uma forma indeterminada:
Ainda temos a forma , então aplicamos a Regra de L’Hospital mais uma vez.

Passo 5

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador limx 0 2e^x :
  • Derivada do denominador :
Agora, o limite fica:

Resposta

Substituindo 2e^0 = 21 = 2 :
Portanto, o limite é 2.

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