Questão 3)(Valor - 1,0 cada) Usando a Regra de Lc)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve o estudo de limites, especificamente usando a Regra de L’Hospital. Para resolver, vamos precisar conhecer o comportamento das funções exponenciais próximas de zero e aplicar derivadas para simplificar o limite.
Passo 2
Primeiro, substituímos
na expressão para verificar se é uma forma indeterminada:
Como obtemos a forma
, podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
: - Derivada do denominador
:
Agora, o limite fica:
Passo 4
Substituímos novamente
para verificar se ainda é uma forma indeterminada:
Ainda temos a forma
, então aplicamos a Regra de L’Hospital mais uma vez.
Passo 5
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
: - Derivada do denominador
:
Agora, o limite fica:
Resposta
Substituindo
:
Portanto, o limite é 2.