Questão 3)(Valor - 1,0 cada) Usando a Regra de La) lim x 0 2-e^x-e^-x1-cos ^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão usando a Regra de L’Hospital. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, funções exponenciais, funções trigonométricas e como aplicar a Regra de L’Hospital, que nos ajuda a resolver limites que dão uma forma indeterminada como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 2 - e^0 - e^-01 - cos^2(0) = 2 - 1 - 11 - 1 = 00 na expressão para ver se conseguimos calcular o limite diretamente:
limx to a f'(x)g'(x)
Como obtivemos a forma , que é indeterminada, podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que se o limite resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas das funções:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Para o numerador f'(x) = -e^x + e^-x :
g'(x) = 0 - 2cos x cdot (-sin x) = 2 cos x sin x
Para o denominador limx to 0 -e^x + e^-x2 cos x sin x :
Então, a expressão do limite após a primeira aplicação da Regra de L’Hospital fica:

Passo 4

Vamos verificar novamente substituindo -e^0 + e^02 cos 0 cdot sin 0 = -1 + 12 cdot 1 cdot 0 = 00 :
Ainda temos uma forma indeterminada , então aplicamos a Regra de L’Hospital mais uma vez.

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas novamente.
Para o numerador f''(x) = -e^x - e^-x :
g''(x) = 2(cos x)' sin x + 2 cos x (sin x)' = 2(-sin x) sin x + 2 cos x cos x = -2 sin^2 x + 2 cos^2 x
Para o denominador limx to 0 -e^x - e^-x-2 sin^2 x + 2 cos^2 x :
Então, a nova expressão do limite é:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
-e^x - e^-x-2 sin^2 x + 2 cos^2 x = e^x + e^-x2 sin^2 x - 2 cos^2 x = e^x + e^-x2(sin^2 x - cos^2 x)
Agora, substituímos e^0 + e^02(0 - 1) = 1 + 12(-1) = 2-2 = -1 :

Resposta

O limite é .

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