Questão 3)(Valor - 1,0 cada) Usando a Regra de La)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão usando a Regra de L’Hospital. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, funções exponenciais, funções trigonométricas e como aplicar a Regra de L’Hospital, que nos ajuda a resolver limites que dão uma forma indeterminada como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na expressão para ver se conseguimos calcular o limite diretamente:
Como obtivemos a forma , que é indeterminada, podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que se o limite resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas das funções:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Para o numerador :
Para o denominador :
Então, a expressão do limite após a primeira aplicação da Regra de L’Hospital fica:

Passo 4

Vamos verificar novamente substituindo :
Ainda temos uma forma indeterminada , então aplicamos a Regra de L’Hospital mais uma vez.

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas novamente.
Para o numerador :
Para o denominador :
Então, a nova expressão do limite é:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Agora, substituímos :

Resposta

O limite é .

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b) onde , sabendo que .
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