Questão 3)(Valor - 1,0 cada) Usando a Regra de La)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
usando a Regra de L’Hospital. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, funções exponenciais, funções trigonométricas e como aplicar a Regra de L’Hospital, que nos ajuda a resolver limites que dão uma forma indeterminada como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para ver se conseguimos calcular o limite diretamente:
Como obtivemos a forma
, que é indeterminada, podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que se o limite
resulta em
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas das funções:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Para o numerador
:
Para o denominador
:
Então, a expressão do limite após a primeira aplicação da Regra de L’Hospital fica:
Passo 4
Vamos verificar novamente substituindo
:
Ainda temos uma forma indeterminada
, então aplicamos a Regra de L’Hospital mais uma vez.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas novamente.
Para o numerador
:
Para o denominador
:
Então, a nova expressão do limite é:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Agora, substituímos
:
Resposta
O limite é
.