Resolver os exercícios 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180. Derive:
(7) h(theta) = cossec(theta) + e^(theta) cotg(theta)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos derivar a função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação de funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Vamos lembrar o que são as funções trigonométricas envolvidas:
  • é a cossecante, que pode ser escrita como .
  • é a cotangente, que é .

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo da função separadamente utilizando as regras de derivação:
  1. Derivada da cossecante:
    Essa regra vem da derivada da função .
  2. Derivada do segundo termo :
    Para derivar esse termo, usamos a regra do produto, que diz que .
    Aqui, e .
    • Derivada de :
    • Derivada de : (A derivada da cotangente é negativa da cossecante ao quadrado).
    Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, juntando as derivadas dos dois termos:

Resposta

A derivada de é:

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(19) y = (v^3 - 2*v*raiz(v)) / v
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(5) y = e^(raiz(x))