Resolver os exercícios 21 e 23 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180. Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado:
(21) y = sec(x), (pi/3, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 21 do livro de Cálculo do James Stewart. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a achar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. Então, nosso primeiro passo é encontrar a derivada de .

Passo 3

A derivada de é . Então, .

Passo 4

Agora, precisamos calcular o valor da derivada no ponto . Vamos substituir por na derivada:

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  • , então .
  • .
Portanto,
Essa é a inclinação da reta tangente no ponto dado.

Passo 6

Agora que temos a inclinação e sabemos que a reta passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é o ponto dado.

Passo 7

Substituindo os valores:
Se preferir, podemos deixar a equação nessa forma ou simplificar:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Resolver os exercícios 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180. Derive:
(7) h(theta) = cossec(theta) + e^(theta) cotg(theta)
Resolver os exercícios 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.2, página 172 e 173. Derive:
(19) y = (v^3 - 2*v*raiz(v)) / v
Resolver os exercícios 1, 3 e 5 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.4, página 188. Escreva a função composta na forma f(g(x)). Identifique a função de dentro u = g(x) e a de fora y = f(u). Então, encontre a derivada d/y d/x.
(5) y = e^(raiz(x))
Resolver os exercícios 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 do livro de Cálculo volume 1, 6 a edição de James Stewart da seção 3.6, página 204. Derive a função.
(2) f(x) = ln(x^2 + 10)