Resolver os exercícios 1, 3 e 5 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.4, página 188. Escreva a função composta na forma f(g(x)). Identifique a função de dentro u = g(x) e a de fora y = f(u). Então, encontre a derivada d/y d/x.
(5) y = e^(raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 5 da seção 3.4 do livro de Cálculo do James Stewart. A questão pede para escrever a função composta na forma , identificar as funções de dentro e de fora, e depois encontrar a derivada . A função que vamos trabalhar é . Para isso, vamos precisar entender como compor funções e aplicar a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função na forma de função composta . Isso significa identificar uma função interna e uma função externa , onde .

Passo 3

Vamos escolher , que é a função dentro do expoente. Então, a função externa será , onde .

Passo 4

Agora que temos e , podemos escrever a função composta como:

Passo 5

Para encontrar a derivada , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se , então:
Ou seja, derivamos a função externa em relação a e multiplicamos pela derivada da função interna em relação a .

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar :
Agora, a derivada de :

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Resolver os exercícios 21 e 23 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180. Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado:
(21) y = sec(x), (pi/3, 2)
Resolver os exercícios 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180. Derive:
(7) h(theta) = cossec(theta) + e^(theta) cotg(theta)
Resolver os exercícios 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 do livro de Cálculo volume 1, 6 a edição de James Stewart da seção 3.6, página 204. Derive a função.
(2) f(x) = ln(x^2 + 10)
Resolver os exercícios 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 do livro de Cálculo volume 1, 6 a edição de James Stewart da seção 3.6, página 204. Derive a função.
(3) f(x) = sen(ln x)