Resolver os exercícios 1, 3, 11 do livro de Cálculo volume 1 , 6 al edição de J ames Stewart da seção 4.5, página 293. Use o roteiro de esboço de gráficos para esboçar as seguintes curvas:
(3) y = 2 - 15 x + 9 x^2 - x^3

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é a função . A matéria que vamos usar é Cálculo, especificamente sobre como esboçar gráficos de funções polinomiais. Pra resolver, vamos precisar identificar pontos importantes como interceptações, comportamento da função, derivadas para encontrar máximos e mínimos, e pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as interceptações com os eixos.

Interceptação com o eixo Y:

Para isso, colocamos :
Então, a interceptação com o eixo Y é no ponto .

Interceptações com o eixo X:

Para achar onde a função cruza o eixo X, resolvemos :
Essa equação é um pouco mais complicada de resolver sem uma calculadora, mas podemos tentar fatores simples ou usar métodos numéricos. Vamos deixar isso pra depois e focar nos outros passos.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função para tendendo a e . O termo de maior grau é , então:
  • Para , , então .
  • Para , , então .
Isso nos dá uma ideia de como a função se comporta nas extremidades.

Passo 4

Agora, vamos achar a derivada da função para encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou indefinida), que indicam possíveis máximos e mínimos locais.
Igualando a derivada a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -3:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .
Vamos encontrar os valores de nesses pontos:
  • Para :
  • Para :
Então, temos um mínimo local em e um máximo local em .

Passo 5

Vamos encontrar a segunda derivada para identificar pontos de inflexão:
Igualando a segunda derivada a zero:
Agora, encontramos o valor de quando :
Então, temos um ponto de inflexão em .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Interceptação no eixo Y:
  • Máximo local:
  • Mínimo local:
  • Ponto de inflexão:
  • Comportamento nas extremidades:
    • ,
    • ,

Resposta

O gráfico da função possui uma interceptação no eixo Y em , um máximo local em , um mínimo local em , e um ponto de inflexão em . Além disso, a função tende a quando e a quando . Com essas informações, dá pra esboçar o gráfico da curva seguindo esses pontos e comportamentos.

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(35) g(y) = (y - 1) / (y^2 - y + 1)
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(7) g(x) = (3x - 1) / (2x + 1)
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(19) y = (v^3 - 2*v*raiz(v)) / v