Resolver os exercícios 1, 3, 11 do livro de Cálculo volume 1 , 6 al edição de J ames Stewart da seção 4.5, página 293. Use o roteiro de esboço de gráficos para esboçar as seguintes curvas:
(3)
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Passo 1
Beleza! O que a gente tem aqui é a função
. A matéria que vamos usar é Cálculo, especificamente sobre como esboçar gráficos de funções polinomiais. Pra resolver, vamos precisar identificar pontos importantes como interceptações, comportamento da função, derivadas para encontrar máximos e mínimos, e pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as interceptações com os eixos.
Interceptação com o eixo Y:
Para isso, colocamos
:
Então, a interceptação com o eixo Y é no ponto
.
Interceptações com o eixo X:
Para achar onde a função cruza o eixo X, resolvemos
:
Essa equação é um pouco mais complicada de resolver sem uma calculadora, mas podemos tentar fatores simples ou usar métodos numéricos. Vamos deixar isso pra depois e focar nos outros passos.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função para
tendendo a
e
. O termo de maior grau é
, então:
- Para
, , então . - Para
, , então .
Isso nos dá uma ideia de como a função se comporta nas extremidades.
Passo 4
Agora, vamos achar a derivada da função para encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou indefinida), que indicam possíveis máximos e mínimos locais.
Igualando a derivada a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -3:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
.
Vamos encontrar os valores de
nesses pontos:
- Para
:
- Para
:
Então, temos um mínimo local em
e um máximo local em
.
Passo 5
Vamos encontrar a segunda derivada para identificar pontos de inflexão:
Igualando a segunda derivada a zero:
Agora, encontramos o valor de
quando
:
Então, temos um ponto de inflexão em
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Interceptação no eixo Y:
- Máximo local:
- Mínimo local:
- Ponto de inflexão:
- Comportamento nas extremidades:
-
, -
,
-
Resposta
O gráfico da função
possui uma interceptação no eixo Y em
, um máximo local em
, um mínimo local em
, e um ponto de inflexão em
. Além disso, a função tende a
quando
e a
quando
. Com essas informações, dá pra esboçar o gráfico da curva seguindo esses pontos e comportamentos.
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