Resolver os exercícios 7,9,15,19,25, do livro de Cálculo volume 1,6 edição de James Stewart da seção 4.4, página 284. Encontre o limite. Use a Regra de L(15) lim x infty ln (x)raizx

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite de lim x infty ln (x)raizx. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hospital, que é super útil para calcular limites que dão formas indeterminadas como inftyinfty ou 00.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se ao substituir x por infty no limite, obtemos uma forma indeterminada:
lim x infty ln (x)raizx = inftyinfty
Como temos a forma inftyinfty, podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital nos diz que se temos um limite da forma f(x)g(x) que resulta em 00 ou inftyinfty, então:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
desde que o limite à direita exista.
No nosso caso, temos:
  • f(x) = ln(x)
  • g(x) = raizx

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de f(x) e g(x):
f'(x) = ddx ln(x) = 1x
g'(x) = ddx raizx = 12raizx

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
lim x infty ln (x)raizx = limx to infty f'(x)g'(x) = limx to infty 1x12raizx = limx to infty 2raizxx
Simplificando a expressão:
2raizxx = 2raizx
Então, temos:
limx to infty 2raizx = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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