Resolver os exercícios 1, 3, 11 do livro de Cálculo volume 1 , 6 al edição de J ames Stewart da seção 4.5, página 293. Use o roteiro de esboço de gráficos para esboçar as seguintes curvas:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o estudo de funções e seus gráficos. Para fazer isso, vamos precisar entender alguns conceitos como interceptos, derivadas para encontrar pontos críticos e concavidade, além do comportamento da função conforme
cresce ou diminui bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico cruza os eixos
e
.
-
Intercepto com o eixo
: Isso acontece quando . Então, o intercepto com o eixoé o ponto . -
Interceptos com o eixo
: Aqui, precisamos resolver . Isso nos dáe . A equação não tem solução real, então o único intercepto com o eixo é .
Passo 3
Agora, vamos analisar a simetria da função. Existem três possibilidades: simetria em relação ao eixo
, ao eixo
ou à origem.
-
Simetria em relação ao eixo
: Se substituirmos por na função e ela permanecer igual, a função é par. Não é simétrica em relação ao eixo. -
Simetria em relação ao eixo
: Geralmente, esse tipo de simetria não ocorre em funções porque implicaria que para cada existe um , o que não caracteriza uma função. -
Simetria em relação à origem: Se substituirmos
por e por e a função permanecer igual, ela é ímpar. Então, a função é simétrica em relação à origem.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função para encontrar os pontos críticos, que nos ajudarão a identificar máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Agora, vamos encontrar onde
:
Não existem soluções reais para essa equação, então a função não tem pontos críticos reais. Isso significa que não há máximos ou mínimos locais.
Passo 5
Em seguida, vamos analisar a segunda derivada para entender a concavidade do gráfico e encontrar eventuais pontos de inflexão.
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos
:
Então, existe um ponto de inflexão em
. Vamos verificar a concavidade:
- Para
, : concave para baixo. - Para
, : concave para cima.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento assintótico da função quando
vai para
.
Para
muito grande positivo ou negativo, o termo
domina, então:
- Quando
, . - Quando
, .
Não há assíntotas horizontais ou verticais para esta função polinomial.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- O gráfico passa pela origem
. - É simétrico em relação à origem.
- Não tem máximos ou mínimos locais.
- Tem um ponto de inflexão em
. - Para
grande positivo, o gráfico sobe, e para grande negativo, ele desce. - A concavidade muda no ponto de inflexão.
Resposta
O esboço do gráfico da função
apresenta uma curva passando pela origem, simétrica em relação à origem, sem máximos ou mínimos locais, com um ponto de inflexão em
. A concavidade é para baixo quando
e para cima quando
, e o gráfico tende ao infinito positivo e negativo conforme
aumenta positivamente ou negativamente.
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no intervalo dado.
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Resolver os exercícios
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