Resolver os exercícios 1, 3, 11 do livro de Cálculo volume 1 , 6 al edição de J ames Stewart da seção 4.5, página 293. Use o roteiro de esboço de gráficos para esboçar as seguintes curvas:
(1) y = x^3 + x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função . Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o estudo de funções e seus gráficos. Para fazer isso, vamos precisar entender alguns conceitos como interceptos, derivadas para encontrar pontos críticos e concavidade, além do comportamento da função conforme cresce ou diminui bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico cruza os eixos e .
  • Intercepto com o eixo : Isso acontece quando .
    Então, o intercepto com o eixo é o ponto .
  • Interceptos com o eixo : Aqui, precisamos resolver .
    Isso nos dá e . A equação não tem solução real, então o único intercepto com o eixo é .

Passo 3

Agora, vamos analisar a simetria da função. Existem três possibilidades: simetria em relação ao eixo , ao eixo ou à origem.
  • Simetria em relação ao eixo : Se substituirmos por na função e ela permanecer igual, a função é par.
    Não é simétrica em relação ao eixo .
  • Simetria em relação ao eixo : Geralmente, esse tipo de simetria não ocorre em funções porque implicaria que para cada existe um , o que não caracteriza uma função.
  • Simetria em relação à origem: Se substituirmos por e por e a função permanecer igual, ela é ímpar.
    Então, a função é simétrica em relação à origem.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função para encontrar os pontos críticos, que nos ajudarão a identificar máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Agora, vamos encontrar onde :
Não existem soluções reais para essa equação, então a função não tem pontos críticos reais. Isso significa que não há máximos ou mínimos locais.

Passo 5

Em seguida, vamos analisar a segunda derivada para entender a concavidade do gráfico e encontrar eventuais pontos de inflexão.
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos :
Então, existe um ponto de inflexão em . Vamos verificar a concavidade:
  • Para , : concave para baixo.
  • Para , : concave para cima.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento assintótico da função quando vai para .
Para muito grande positivo ou negativo, o termo domina, então:
  • Quando , .
  • Quando , .
Não há assíntotas horizontais ou verticais para esta função polinomial.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. O gráfico passa pela origem .
  2. É simétrico em relação à origem.
  3. Não tem máximos ou mínimos locais.
  4. Tem um ponto de inflexão em .
  5. Para grande positivo, o gráfico sobe, e para grande negativo, ele desce.
  6. A concavidade muda no ponto de inflexão.

Resposta

O esboço do gráfico da função apresenta uma curva passando pela origem, simétrica em relação à origem, sem máximos ou mínimos locais, com um ponto de inflexão em . A concavidade é para baixo quando e para cima quando , e o gráfico tende ao infinito positivo e negativo conforme aumenta positivamente ou negativamente.

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(47) f(x) = 3x^2 - 12x + 5, [0, 3]
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(13) g(x) = ln(x * raiz(x^2 - 1))
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(13) y = x^3 / (1 - x^2)
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(1) f(x) = x - 3 sen(x)