Resolver os exercícios 21 e 23 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180. Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado:
(23)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 23 do livro de Cálculo do James Stewart. A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto é aquela que toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele instante. Para achar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada da função .
Passo 3
Vamos calcular a derivada de em relação a . A derivada de é 1, e a derivada de é , então:
Passo 4
Agora, queremos saber a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 1.
Passo 5
Com a inclinação da reta () e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto dado.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, isolamos para obter a equação da reta tangente: