Resolver os exercícios 21 e 23 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180. Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado:
(23) y = x + cos(x), (0, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 23 do livro de Cálculo do James Stewart. A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto é aquela que toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele instante. Para achar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada da função .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . A derivada de é 1, e a derivada de é , então:

Passo 4

Agora, queremos saber a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 1.

Passo 5

Com a inclinação da reta ( ) e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto dado.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, isolamos para obter a equação da reta tangente:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Resolver os exercícios 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180. Derive:
(3) y = sen(x) + 10 * tg(x)
Resolver os exercícios 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.2, página 172 e 173. Derive:
(15) y = t^2 / (3 t^2 - 2 t + 1)
Resolver os exercícios 1, 3 e 5 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.4, página 188. Escreva a função composta na forma f(g(x)). Identifique a função de dentro u = g(x) e a de fora y = f(u). Então, encontre a derivada d/y d/x.
(1) y = sen(4 x)
Resolver os exercícios ímpares de 7 a 35 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.4, página 188. Encontre a derivada da função:
(11) g(t) = 1 / ((t^4 + 1)^3)