Resolver os exercícios 1, 3 e 5 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.4, página 188. Escreva a função composta na forma f(g(x)). Identifique a função de dentro u = g(x) e a de fora y = f(u). Então, encontre a derivada d/y d/x.
(1) y = sen(4 x)

Passo 1

Nesta questão, vamos encontrar a derivada da função composta usando a regra da cadeia. Para isso, precisamos identificar a função interna e a função externa, escrever na forma e, em seguida, calcular a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções interna e externa. A função interna é a parte que está dentro da função composta. Aqui, podemos escrever como .

Passo 3

A função interna é aquela que está dentro da função seno. Então, temos:

Passo 4

A função externa é a função seno aplicada à função interna. Portanto:

Passo 5

Agora, para encontrar a derivada , vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que:
onde é a derivada da função externa em relação a e é a derivada da função interna em relação a .

Passo 6

Calculando cada derivada individualmente:
  • Derivada da função externa :
  • Derivada da função interna :

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia:

Resposta

A derivada de é:

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(23) y = x + cos(x), (0, 1)
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