Calcule as seguintes integrais: integral sen^2 3 t cos ^2 3 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sen^2 3 t cos ^2 3 t , dt. Essa é uma questão de cálculo que envolve integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas que ajudam a simplificar expressões com sen e cos elevados ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sen^2 x e cos^2 x podem ser reescritos usando a identidade trigonométrica:
sen^2 x = 1 - cos 2x2
cos^2 x = 1 + cos 2x2
Isso ajuda a transformar potências de sen e cos em termos mais fáceis de integrar.

Passo 3

Aplicando essas identidades à nossa integral:
sen^2 3 t = 1 - cos 6t2
cos^2 3 t = 1 + cos 6t2
Substituindo na integral:
integral (1 - cos 6t2) (1 + cos 6t2) dt

Passo 4

Vamos multiplicar as duas frações:
(1 - cos 6t2) (1 + cos 6t2) = (1 - cos 6t)(1 + cos 6t)4
Usando a identidade de produto notável (a - b)(a + b) = a^2 - b^2:
1 - cos^2 6t4

Passo 5

Sabemos que 1 - cos^2 x = sen^2 x, então:
sen^2 6t4
Agora, a integral fica:
integral sen^2 6t4 dt = 14 integral sen^2 6t , dt

Passo 6

Vamos usar novamente a identidade trigonométrica para sen^2 x:
sen^2 x = 1 - cos 2x2
Aplicando para 6t:
sen^2 6t = 1 - cos 12t2
Substituindo na integral:
14 integral 1 - cos 12t2 dt = 18 integral (1 - cos 12t) dt

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 1 , dt = t
integral cos 12t , dt = sen 12t12
Então:
18 ( t - sen 12t12 ) + C

Resposta

A integral vale:
18 t - 196 sen 12t + C

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