Resolver o PVI : sem usar transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) que é com a condição inicial . Esse tipo de equação diferencial pertence à matéria de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos usar o método do Fator Integrante, que nos ajuda a simplificar e integrar a equação facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem:
No nosso caso, a equação original é . Podemos reescrevê-la assim:
Então, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o Fator Integrante ( ). Esse fator é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido exatamente para que isso ocorra. Agora, integramos ambos os lados em relação a :

Passo 6

A integral da esquerda é simples:
Agora, vamos resolver usando integração por partes. Vamos definir:
Usando a fórmula de integração por partes :
Então, voltando à equação anterior:

Passo 7

Agora, resolvemos para :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Substituindo :

Resposta

A solução do PVI com é:

Exercícios relacionados

Mostrar que:
Mostrar que: .
Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial a seguir.
Responda: O que é uma série?