Resolver o PVI
: sem usar transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) que é
com a condição inicial
. Esse tipo de equação diferencial pertence à matéria de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos usar o método do Fator Integrante, que nos ajuda a simplificar e integrar a equação facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem:
No nosso caso, a equação original é
. Podemos reescrevê-la assim:
Então, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o Fator Integrante (
). Esse fator é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido exatamente para que isso ocorra. Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 6
A integral da esquerda é simples:
Agora, vamos resolver
usando integração por partes. Vamos definir:
Usando a fórmula de integração por partes
:
Então, voltando à equação anterior:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Substituindo
:
Resposta
A solução do PVI
com
é:
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Mostrar que:
Mostrar que:
.
Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial a seguir.
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