Mostrar que: L{t sen(k t)} = 2 k s / (s^2 + k^2)^2.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos mostrar que a Transformada de Laplace de é igual a . Para resolver isso, vamos usar a teoria das Transformadas de Laplace, especificamente a propriedade que relaciona a Transformada de vezes uma função com a derivada da Transformada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Transformada de Laplace de . A fórmula padrão é:
Isso porque a Transformada de Laplace de é .

Passo 3

Agora, queremos a Transformada de . Existe uma propriedade que diz:
Isso significa que multiplicar a função por no domínio do tempo corresponde a tirar a derivada negativa da Transformada em relação a .

Passo 4

Vamos aplicar essa propriedade. Primeiro, encontramos a derivada de em relação a :
Usando a regra da potência, temos:

Passo 5

Aplicando a propriedade mencionada no Passo 3:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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