Mostrar que:
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos mostrar que a Transformada de Laplace de
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar a teoria das Transformadas de Laplace, especificamente a propriedade que relaciona a Transformada de
vezes uma função com a derivada da Transformada dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Transformada de Laplace de
. A fórmula padrão é:
Isso porque a Transformada de Laplace de
é
.
Passo 3
Agora, queremos a Transformada de
. Existe uma propriedade que diz:
Isso significa que multiplicar a função por
no domínio do tempo corresponde a tirar a derivada negativa da Transformada em relação a
.
Passo 4
Vamos aplicar essa propriedade. Primeiro, encontramos a derivada de
em relação a
:
Usando a regra da potência, temos:
Passo 5
Aplicando a propriedade mencionada no Passo 3:
Resposta
Portanto, mostramos que: