Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar a transformada de Laplace em uma equação diferencial. O enunciado é: com a condição inicial . Vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace nas equações diferenciais, usar propriedades das transformadas para derivadas e funções trigonométricas, e então resolver para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de é , onde é a transformada de .
Então, aplicando a transformada:
Isso fica:
Substituindo :
Passo 3
Agora, vamos juntar os termos que envolvem :
Isolando :
Passo 4
Para simplificar , vamos usar a decomposição em frações parciais. A fração:
Pode ser decomposta da seguinte forma:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo e igualando os coeficientes:
Agrupando os termos:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então:
Passo 5
Agora, substituindo os valores encontrados de , e na decomposição:
Então, nossa expressão para fica:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar .
Para :
Para :
Resposta
Juntando tudo, a solução da equação diferencial é: