Mostrar que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa mostrar que a Transformada de Laplace de é igual a . Para isso, vamos usar conceitos da Transformada de Laplace aplicados a funções exponenciais e cossenos. Vamos precisar entender a definição da Transformada de Laplace e algumas propriedades básicas dela para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta que transforma uma função do tempo em uma função da variável complexa . A fórmula básica é:
No nosso caso, . Então, substituindo na fórmula:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que . Assim, nossa integral fica:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar a fórmula da Transformada de Laplace para , que é uma propriedade conhecida. A fórmula é:
Aqui, comparando com a nossa função, temos e . Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos expandir o denominador para simplificar a expressão:
Então, nossa transformada fica:

Resposta

Portanto, a Transformada de Laplace de é:

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