Mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa mostrar que a Transformada de Laplace de
é igual a
. Para isso, vamos usar conceitos da Transformada de Laplace aplicados a funções exponenciais e cossenos. Vamos precisar entender a definição da Transformada de Laplace e algumas propriedades básicas dela para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta que transforma uma função do tempo
em uma função da variável complexa
. A fórmula básica é:
No nosso caso,
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que
. Assim, nossa integral fica:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar a fórmula da Transformada de Laplace para
, que é uma propriedade conhecida. A fórmula é:
Aqui, comparando com a nossa função, temos
e
. Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos expandir o denominador para simplificar a expressão:
Então, nossa transformada fica:
Resposta
Portanto, a Transformada de Laplace de
é:
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Mostrar que:
.
Responda: Como o conceito de sequência define quando uma série converge ou diverge?
Resolver o PVI
: sem usar transformada de Laplace.
Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial a seguir.