Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e . Resp. .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo com condições iniciais e . A matéria que vamos usar aqui é o Teorema da Convolução, que nos ajuda a resolver EDOs lineares com condições iniciais nulas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre convolução e funções de resposta ao impulso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Convolução. Ele nos diz que, para resolver uma EDO linear com condições iniciais nulas, a solução pode ser expressa como a convolução da função força com a função de resposta do sistema. A resposta ao impulso desse sistema, que é a solução quando é um impulso de Dirac, pode ser usada para construir a solução para qualquer .

Passo 3

No nosso caso, a EDO é . A equação característica associada é , que tem raízes imaginárias . Isso nos diz que a função de resposta do sistema será uma combinação de funções seno e cosseno com frequência 2.

Passo 4

Como as condições iniciais são e , a função de resposta ao impulso será proporcional a . Especificamente, temos:
Isso ocorre porque, ao aplicar a transformada de Laplace e resolver para , obtemos esse resultado.

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema da Convolução, a solução geral será a convolução de com . Em termos matemáticos, isso fica assim:
Substituindo pela nossa expressão encontrada:

Resposta

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com .
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e .
Resp. .
Achar nas seguintes equações integrais de Volterra:
.