Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
y^prime prime+4 y=f(t), com y(0)=0 e y^prime(0)=0. Resp. y(t)=12 integral0^t f(t-u) sen(2 u) d u.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo com condições iniciais e . A matéria que vamos usar aqui é o Teorema da Convolução, que nos ajuda a resolver EDOs lineares com condições iniciais nulas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre convolução e funções de resposta ao impulso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Convolução. Ele nos diz que, para resolver uma EDO linear com condições iniciais nulas, a solução pode ser expressa como a convolução da função força com a função de resposta do sistema. A resposta ao impulso desse sistema, que é a solução quando é um impulso de Dirac, pode ser usada para construir a solução para qualquer .

Passo 3

No nosso caso, a EDO é . A equação característica associada é , que tem raízes imaginárias . Isso nos diz que a função de resposta do sistema será uma combinação de funções seno e cosseno com frequência 2.

Passo 4

Como as condições iniciais são h(t) = 12 sin(2t) e , a função de resposta ao impulso será proporcional a . Especificamente, temos:
Isso ocorre porque, ao aplicar a transformada de Laplace e resolver para , obtemos esse resultado.

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema da Convolução, a solução geral y(t) = integral0^t f(t - u) h(u) , du será a convolução de y(t) = 12 integral0^t f(t - u) sin(2u) , du com . Em termos matemáticos, isso fica assim:
Substituindo pela nossa expressão encontrada:

Resposta

y(t) = 12 integral0^t f(t - u) sin(2u) , du

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