Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com
e
. Resp.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
com condições iniciais
e
. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema da Convolução, que nos ajuda a resolver EDOs lineares com condições iniciais nulas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre convolução e funções de resposta ao impulso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Convolução. Ele nos diz que, para resolver uma EDO linear com condições iniciais nulas, a solução
pode ser expressa como a convolução da função força
com a função de resposta do sistema. A resposta ao impulso desse sistema, que é a solução quando
é um impulso de Dirac, pode ser usada para construir a solução para qualquer
.
Passo 3
No nosso caso, a EDO é
. A equação característica associada é
, que tem raízes imaginárias
. Isso nos diz que a função de resposta do sistema será uma combinação de funções seno e cosseno com frequência 2.
Passo 4
Como as condições iniciais são
e
, a função de resposta ao impulso
será proporcional a
. Especificamente, temos:
Isso ocorre porque, ao aplicar a transformada de Laplace e resolver para
, obtemos esse resultado.
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema da Convolução, a solução geral
será a convolução de
com
. Em termos matemáticos, isso fica assim:
Substituindo
pela nossa expressão encontrada:
Resposta
Exercícios relacionados
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com
e
.
Resp. .
Resp.
Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
.