Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O enunciado é:
com as condições iniciais
e
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de EDOs lineares e sistemas de equações. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a primeira equação em relação ao tempo
. Se
, então
.
Passo 3
Sabemos pela segunda equação que
. Então, substituindo na equação que obtivemos:
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para
.
Passo 4
A equação
é uma EDO homogênea com soluções que envolvem funções trigonométricas. A solução geral é:
onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Passo 6
Em seguida, precisamos encontrar
. Para isso, vamos derivar
:
No tempo
,
:
Passo 7
Com
e
, a solução para
fica:
Passo 8
Agora, vamos encontrar
usando a equação
:
Resposta
As soluções do sistema são:
Exercícios relacionados
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
sent
, com
.
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com
e
. Resp.
.