Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O enunciado é:
com as condições iniciais e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de EDOs lineares e sistemas de equações. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira equação em relação ao tempo . Se , então .

Passo 3

Sabemos pela segunda equação que . Então, substituindo na equação que obtivemos:
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para .

Passo 4

A equação é uma EDO homogênea com soluções que envolvem funções trigonométricas. A solução geral é:
onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :

Passo 6

Em seguida, precisamos encontrar . Para isso, vamos derivar :
No tempo , :

Passo 7

Com e , a solução para fica:

Passo 8

Agora, vamos encontrar usando a equação :

Resposta

As soluções do sistema são:

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Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .
Achar nas seguintes equações integrais de Volterra:
sent , com .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com .
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e . Resp. .