Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função
na seguinte equação integral de Volterra:
Isso envolve equações integrais de Volterra, que são equações onde a função desconhecida aparece tanto fora quanto dentro de uma integral. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de cálculo, como diferenciação e, possivelmente, séries de potências ou transformadas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Observamos que a integral envolve
, que pode ser reescrita como
porque
. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação integral, uma boa estratégia é diferenciar ambos os lados da equação com relação a
. Isso nos ajuda a eliminar a integral e transformar a equação integral em uma equação diferencial. Vamos fazer isso:
Derivando o lado direito:
Passo 4
Para derivar a integral, usamos a regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral, que diz:
No nosso caso,
,
, e
. Aplicando a regra:
Simplificando:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão para
:
Agora temos uma nova equação diferencial que ainda contém uma integral. Para simplificar ainda mais, vamos diferenciar novamente ambos os lados.
Passo 6
Derivando novamente:
Aplicando a regra de Leibniz:
Simplificando:
Passo 7
Vamos diferenciar mais uma vez para eliminar a integral:
Aplicando a regra de Leibniz:
Passo 8
Derivando mais uma vez:
Agora temos uma equação diferencial de quarta ordem:
Passo 9
Resolvendo essa equação diferencial homogênea, suponha soluções da forma
. Substituindo:
Então, a solução geral é:
Passo 10
Para encontrar as constantes
, usamos as condições iniciais obtidas das derivadas anteriores quando
. Substituindo
na equação original:
Seguindo esse processo para
, obtemos um sistema de equações que nos permite determinar todas as constantes.
Resposta
A solução da equação integral de Volterra dada é:
Onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com
e
.
Resp. .
Resp.
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e
. Resp.
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
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e
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