Achar nas seguintes equações integrais de Volterra:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função na seguinte equação integral de Volterra:
Isso envolve equações integrais de Volterra, que são equações onde a função desconhecida aparece tanto fora quanto dentro de uma integral. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de cálculo, como diferenciação e, possivelmente, séries de potências ou transformadas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Observamos que a integral envolve , que pode ser reescrita como porque . Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, para resolver essa equação integral, uma boa estratégia é diferenciar ambos os lados da equação com relação a . Isso nos ajuda a eliminar a integral e transformar a equação integral em uma equação diferencial. Vamos fazer isso:
Derivando o lado direito:

Passo 4

Para derivar a integral, usamos a regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral, que diz:
No nosso caso, , , e . Aplicando a regra:
Simplificando:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão para :
Agora temos uma nova equação diferencial que ainda contém uma integral. Para simplificar ainda mais, vamos diferenciar novamente ambos os lados.

Passo 6

Derivando novamente:
Aplicando a regra de Leibniz:
Simplificando:

Passo 7

Vamos diferenciar mais uma vez para eliminar a integral:
Aplicando a regra de Leibniz:

Passo 8

Derivando mais uma vez:
Agora temos uma equação diferencial de quarta ordem:

Passo 9

Resolvendo essa equação diferencial homogênea, suponha soluções da forma . Substituindo:
Então, a solução geral é:

Passo 10

Para encontrar as constantes , usamos as condições iniciais obtidas das derivadas anteriores quando . Substituindo na equação original:
Seguindo esse processo para , obtemos um sistema de equações que nos permite determinar todas as constantes.

Resposta

A solução da equação integral de Volterra dada é:
Onde são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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, com e .
Resp. .
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e .
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