Achar f(t) nas seguintes equações integrais de Volterra:
f(t)=1+t-83 integral0^t(u-t)^3 f(u) d u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função f(t) = 1 + t - 83 integral0^t (u - t)^3 f(u) , du na seguinte equação integral de Volterra:
Isso envolve equações integrais de Volterra, que são equações onde a função desconhecida aparece tanto fora quanto dentro de uma integral. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de cálculo, como diferenciação e, possivelmente, séries de potências ou transformadas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Observamos que a integral envolve f(t) = 1 + t + 83 integral0^t (t - u)^3 f(u) , du , que pode ser reescrita como porque . Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, para resolver essa equação integral, uma boa estratégia é diferenciar ambos os lados da equação com relação a ddt f(t) = ddt (1 + t + 83 integral0^t (t - u)^3 f(u) , du ) . Isso nos ajuda a eliminar a integral e transformar a equação integral em uma equação diferencial. Vamos fazer isso:
f'(t) = 0 + 1 + 83 cdot ddt ( integral0^t (t - u)^3 f(u) , du )
Derivando o lado direito:

Passo 4

Para derivar a integral, usamos a regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral, que diz:
ddt integrala(t)^b(t) g(u, t) , du = g(b(t), t) cdot b'(t) - g(a(t), t) cdot a'(t) + integrala(t)^b(t) partial gpartial t , du
No nosso caso, ddt integral0^t (t - u)^3 f(u) , du = (t - t)^3 f(t) cdot 1 - 0 + integral0^t 3(t - u)^2 f(u) , du , ddt integral0^t (t - u)^3 f(u) , du = 0 + 3 integral0^t (t - u)^2 f(u) , du , e . Aplicando a regra:
Simplificando:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão para f'(t) = 1 + 83 cdot 3 integral0^t (t - u)^2 f(u) , du = 1 + 8 integral0^t (t - u)^2 f(u) , du :
Agora temos uma nova equação diferencial que ainda contém uma integral. Para simplificar ainda mais, vamos diferenciar novamente ambos os lados.

Passo 6

Derivando novamente:
f''(t) = 0 + 8 cdot ddt ( integral0^t (t - u)^2 f(u) , du )
Aplicando a regra de Leibniz:
f''(t) = 8 [ (t - t)^2 f(t) cdot 1 + integral0^t 2(t - u) f(u) , du ] = 8 [ 0 + 2 integral0^t (t - u) f(u) , du ]
Simplificando:
f''(t) = 16 integral0^t (t - u) f(u) , du

Passo 7

Vamos diferenciar mais uma vez para eliminar a integral:
f'''(t) = 16 cdot ddt ( integral0^t (t - u) f(u) , du )
Aplicando a regra de Leibniz:
f'''(t) = 16 [ (t - t) f(t) cdot 1 + integral0^t f(u) , du ] = 16 integral0^t f(u) , du

Passo 8

Derivando mais uma vez:
f''''(t) = 16 cdot ddt ( integral0^t f(u) , du ) = 16 f(t)
Agora temos uma equação diferencial de quarta ordem:
f''''(t) = 16 f(t)

Passo 9

Resolvendo essa equação diferencial homogênea, suponha soluções da forma r^4 e^rt = 16 e^rt implies r^4 = 16 implies r = pm 2, pm 2i . Substituindo:
f(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t + C3 cos(2t) + C4 sin(2t)
Então, a solução geral é:

Passo 10

Para encontrar as constantes f(0) = 1 + 0 - 83 cdot 0 = 1 implies C1 + C2 + C3 = 1 , usamos as condições iniciais obtidas das derivadas anteriores quando . Substituindo na equação original:
Seguindo esse processo para , obtemos um sistema de equações que nos permite determinar todas as constantes.

Resposta

A solução da equação integral de Volterra dada é:
f(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t + C3 cos(2t) + C4 sin(2t)
Onde são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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