Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com
e
.
Resp.
.
Resp.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o teorema da convolução. A equação que temos é:
Com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações lineares de segunda ordem e a transformação de Laplace, já que vamos usar a convolução. Vamos começar encontrando a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar a solução particular usando convolução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são
e
.
Passo 3
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, quando
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicamos a condição
:
Então:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações para
e
:
Da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora que temos
e
, a solução homogênea é:
Essa é a parte da solução que resolve a equação homogênea. Agora, vamos encontrar a solução particular usando o teorema da convolução.
Passo 8
A equação original é:
Podemos reescrever isso na forma de operador:
Onde
é o operador diferencial
, sendo
a derivada em relação a
.
A solução particular usando convolução é dada por:
Onde
é a resposta ao impulso (função de Green) associada ao operador
.
Passo 9
Primeiro, encontramos a transformada de Laplace da função de Green
. A transformada de Laplace de
é:
Fazendo a decomposição em frações parciais:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Passo 10
Agora, substituímos
na expressão da solução particular:
Simplificando:
Podemos fazer uma mudança de variável
, então
e
. O intervalo de integração fica de
a
:
Passo 11
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da EDO:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A solução da EDO é:
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com
e
. Resp.
.
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
.
Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.