Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e .
Resp. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o teorema da convolução. A equação que temos é:
Com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações lineares de segunda ordem e a transformação de Laplace, já que vamos usar a convolução. Vamos começar encontrando a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar a solução particular usando convolução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, quando :
Então, temos:
çã

Passo 5

Agora, derivamos para encontrar :
Aplicamos a condição :
Então:
çã

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações para e :
Da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora que temos e , a solução homogênea é:
Essa é a parte da solução que resolve a equação homogênea. Agora, vamos encontrar a solução particular usando o teorema da convolução.

Passo 8

A equação original é:
Podemos reescrever isso na forma de operador:
Onde é o operador diferencial , sendo a derivada em relação a .
A solução particular usando convolução é dada por:
Onde é a resposta ao impulso (função de Green) associada ao operador .

Passo 9

Primeiro, encontramos a transformada de Laplace da função de Green . A transformada de Laplace de é:
Fazendo a decomposição em frações parciais:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:

Passo 10

Agora, substituímos na expressão da solução particular:
Simplificando:
Podemos fazer uma mudança de variável , então e . O intervalo de integração fica de a :

Passo 11

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da EDO:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A solução da EDO é:

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e . Resp. .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com .
Achar nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .