Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
y^prime prime-4 y^prime+3 y=2 f(t), com y(0)=2 e y^prime(0)=0.
Resp. y(t)=3 e^t-e^3 t+integral0^t(e^3 u-e^u) f(t-u) d u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o teorema da convolução. A equação que temos é:
y'' - 4y' + 3y = 2f(t)
Com as condições iniciais:
y(0) = 2 e y'(0) = 0
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações lineares de segunda ordem e a transformação de Laplace, já que vamos usar a convolução. Vamos começar encontrando a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar a solução particular usando convolução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 4y' + 3y = 0
Para isso, encontramos a equação característica:
r^2 - 4r + 3 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22
Então, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^t + C2 e^3t
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 2 e C1 + C2 = 2 (Equação 1).
Primeiro, quando :
Então, temos:
çã

Passo 5

Agora, derivamos y'h(t) = C1 e^t + 3C2 e^3t para encontrar y'h(0) = C1 e^0 + 3C2 e^0 = C1 + 3C2 = 0:
C1 + 3C2 = 0 (Equação 2)
Aplicamos a condição :
Então:
çã

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações para C1 = -3C2 e -3C2 + C2 = 2:
Da Equação 2:
-2C2 = 2
Substituindo na Equação 1:
C2 = -1
C1 = -3(-1) = 3
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora que temos yh(t) = 3e^t - e^3t e , a solução homogênea é:
Essa é a parte da solução que resolve a equação homogênea. Agora, vamos encontrar a solução particular usando o teorema da convolução.

Passo 8

A equação original é:
y'' - 4y' + 3y = 2f(t)
Podemos reescrever isso na forma de operador:
L[y] = 2f(t)
Onde yp(t) = integral0^t h(t - tau) cdot 2f(tau) dtau é o operador diferencial , sendo a derivada em relação a .
A solução particular usando convolução é dada por:
Onde é a resposta ao impulso (função de Green) associada ao operador .

Passo 9

Primeiro, encontramos a transformada de Laplace da função de Green H(s) = 1s^2 - 4s + 3 = 1(s - 1)(s - 3). A transformada de Laplace de H(s) = 12 ( 1s - 1 - 1s - 3 ) é:
h(t) = 12 ( e^t - e^3t )
Fazendo a decomposição em frações parciais:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:

Passo 10

Agora, substituímos yp(t) = integral0^t 12 ( e^t - tau - e^3(t - tau) ) cdot 2f(tau) dtau na expressão da solução particular:
yp(t) = integral0^t ( e^t - tau - e^3(t - tau) ) f(tau) dtau
Simplificando:
yp(t) = integral0^t ( e^u - e^3u ) f(t - u) du
Podemos fazer uma mudança de variável , então e . O intervalo de integração fica de a :

Passo 11

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da EDO:
y(t) = yh(t) + yp(t)
Substituindo os valores que encontramos:
y(t) = 3e^t - e^3t + integral0^t ( e^3u - e^u ) f(t - u) du

Resposta

A solução da EDO é:
y(t) = 3e^t - e^3t + integral0^t ( e^3u - e^u ) f(t - u) du

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