Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que é assim:
Vamos usar conhecimentos de sistemas lineares e métodos de solução de EDOs com coeficientes constantes. Precisamos achar as soluções para
e
que satisfazem essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor e aplicar métodos de álgebra linear:
[
]
Aqui, a matriz
representa os coeficientes das variáveis
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica:
Vamos calcular:
Resolvendo:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos achar os autovetores correspondentes. Vamos usar
:
Resolvendo
:
[
]
Da primeira equação:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Para cada autovalor
e autovetor
, a solução é:
Aplicando isso aos nossos valores:
Simplificando:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Exercícios relacionados
Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com
e
.
Resp. .
Resp.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.