Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que é assim:
Vamos usar conhecimentos de sistemas lineares e métodos de solução de EDOs com coeficientes constantes. Precisamos achar as soluções para e que satisfazem essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor e aplicar métodos de álgebra linear:

[



]
Aqui, a matriz representa os coeficientes das variáveis e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Vamos calcular:
Resolvendo:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos achar os autovetores correspondentes. Vamos usar :
Resolvendo :

[



]
Da primeira equação:
Multiplicando numerador e denominador por :
Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Para cada autovalor e autovetor , a solução é:
Aplicando isso aos nossos valores:
Simplificando:

Resposta

A solução geral do sistema é:

Exercícios relacionados

Achar nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e .
Resp. .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .