Resolver as seguintes equaçòes:
(b) (4 x^2 + 3 x y + y^2) dx + (4 y^2 + 3 x y + x^2) dy = 0.
Resp.: (x^2 + y^2)^3 * (x + y)^2 = C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar uma função que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma é exata se .
Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:
Vemos que , então a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos procurar um fator que dependa apenas de .
Após alguns cálculos e tentativas, identificamos que multiplicar a equação por irá torná-la exata.

Passo 4

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante encontrado:
Agora, a equação é exata, e podemos encontrar uma função tal que:

Passo 5

Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, temos:
Integrando em relação a :

Passo 6

Então, a função potencial é:
Simplificando e reorganizando os termos, podemos expressar a solução geral da equação diferencial como:

Resposta

A solução geral da equação é .

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