Resolver as seguintes equaçòes:
(b)
.
Resp.:
.
(b)
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar uma função
que satisfaz essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma
é exata se
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Vemos que
, então a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos procurar um fator que dependa apenas de
.
Após alguns cálculos e tentativas, identificamos que multiplicar a equação por
irá torná-la exata.
Passo 4
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante encontrado:
Agora, a equação é exata, e podemos encontrar uma função
tal que:
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, temos:
Integrando em relação a
:
Passo 6
Então, a função potencial
é:
Simplificando e reorganizando os termos, podemos expressar a solução geral da equação diferencial como:
Resposta
A solução geral da equação é
.