Encontre a integral de superfície , onde é a fronteira do sólido delimitada pelo cilindro e pelos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície . A superfície é a fronteira de um sólido delimitado pelo cilindro e pelos planos e . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a integral de superfície que a gente quer calcular. A integral representa o fluxo do campo vetorial passando pela superfície . Em termos mais simples, estamos medindo quanta “quantidade” do campo está atravessando a superfície .
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema diz que a integral de superfície de sobre é igual à integral de volume do divergente de dentro do sólido limitado por . Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos calcular o divergente de . O divergente de um campo vetorial é dado por:
Para , temos:
Passo 5
Agora, precisamos configurar a integral de volume . Como a região é um cilindro com raio 1 e altura de a , fica mais fácil usar coordenadas cilíndricas . Lembrando que em coordenadas cilíndricas, e , e o elemento de volume é .
Passo 6
Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas. Substituindo , a integral fica:
Simplificando:
Passo 7
Agora, definimos os limites de integração:
varia de 0 a 1 (raio do cilindro).
varia de 0 a (ângulo completo).
varia de 0 a 2 (altura do cilindro).
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a , depois , e por último .