Encontre a integral de superfície integral duplaS(x^3, y^3, z^3) cdot d S, onde S é a fronteira do sólido delimitada pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos z=0 e z=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície . A superfície é a fronteira de um sólido delimitado pelo cilindro e pelos planos e . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral de superfície que a gente quer calcular. A integral representa o fluxo do campo vetorial passando pela superfície . Em termos mais simples, estamos medindo quanta “quantidade” do campo está atravessando a superfície .

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema diz que a integral de superfície de integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV sobre é igual à integral de volume do divergente de dentro do sólido limitado por . Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos calcular o divergente de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . O divergente de um campo vetorial nabla cdot F = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 é dado por:
Para , temos:

Passo 5

Agora, precisamos configurar a integral de volume . Como a região é um cilindro com raio 1 e altura de a , fica mais fácil usar coordenadas cilíndricas . Lembrando que em coordenadas cilíndricas, e , e o elemento de volume é .

Passo 6

Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas. Substituindo integral triplaV (3r^2 + 3z^2) , r , dr , dtheta , dz , a integral fica:
3 integral triplaV (r^3 + z^2r) , dr , dtheta , dz
Simplificando:

Passo 7

Agora, definimos os limites de integração:
  • 3 integral0^2pi integral0^1 integral0^2 (r^3 + z^2r) , dz , dr , dtheta varia de 0 a 1 (raio do cilindro).
  • varia de 0 a (ângulo completo).
  • varia de 0 a 2 (altura do cilindro).
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a integral0^2 (r^3 + z^2r) , dz = r^3 cdot z g|0^2 + r cdot z^33 g|0^2 = 2r^3 + 8r3 , depois , e por último .
Integral em :

Passo 9

Agora, substituímos esse resultado na integral:
3 integral0^2pi integral0^1 (2r^3 + 8r3) , dr , dtheta
Integral em integral0^1 (2r^3 + 8r3) , dr = 2r^44 g|0^1 + 8r^26 g|0^1 = 12 + 43 = 116 :

Passo 10

Substituindo de novo na integral:
3 integral0^2pi 116 , dtheta = 336 integral0^2pi , dtheta = 112 cdot 2pi = 11pi

Resposta

A integral de superfície vale .

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