Encontre a integral de superfície , onde é a fronteira do sólido delimitada pelo cilindro e pelos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície . A superfície é a fronteira de um sólido delimitado pelo cilindro e pelos planos e . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral de superfície que a gente quer calcular. A integral representa o fluxo do campo vetorial passando pela superfície . Em termos mais simples, estamos medindo quanta “quantidade” do campo está atravessando a superfície .

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema diz que a integral de superfície de sobre é igual à integral de volume do divergente de dentro do sólido limitado por . Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos calcular o divergente de . O divergente de um campo vetorial é dado por:
Para , temos:

Passo 5

Agora, precisamos configurar a integral de volume . Como a região é um cilindro com raio 1 e altura de a , fica mais fácil usar coordenadas cilíndricas . Lembrando que em coordenadas cilíndricas, e , e o elemento de volume é .

Passo 6

Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas. Substituindo , a integral fica:
Simplificando:

Passo 7

Agora, definimos os limites de integração:
  • varia de 0 a 1 (raio do cilindro).
  • varia de 0 a (ângulo completo).
  • varia de 0 a 2 (altura do cilindro).
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a , depois , e por último .
Integral em :

Passo 9

Agora, substituímos esse resultado na integral:
Integral em :

Passo 10

Substituindo de novo na integral:

Resposta

A integral de superfície vale .

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes equaçòes:
(b) .
Resp.: .
Calcule: (Cada item vale 1 pt A derivada de
Considere a função . Encontre o máximo e mínimo de sobre a região dado por .
Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo: