Considere a função . Encontre o máximo e mínimo de sobre a região dado por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o máximo e o mínimo da função dentro da região onde . Isso está relacionado a otimização de funções de duas variáveis e envolve calcular derivadas parciais e analisar os pontos críticos tanto no interior quanto na fronteira da região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos no interior da região. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Então, ou .

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Então, ou .

Passo 5

Vamos analisar os casos:
  1. Quando :
    • Da equação , temos .
    • Então, os pontos são e .
  2. Quando :
    • Da equação , temos .
    • Então, os pontos são e .
  3. Quando e :
    • Subtraindo as duas equações: , o que não tem solução. Então, não há outros pontos críticos além dos já encontrados.

Passo 6

Agora, vamos avaliar nesses pontos críticos:

Passo 7

Também precisamos verificar os valores de na fronteira da região, onde . Para isso, podemos usar coordenadas polares, onde e .
Substituindo na função:
O termo varia entre 0 e 4, então na fronteira varia entre e .
Calculando:

Passo 8

Comparando todos os valores:
  • Interno: máximo de aproximadamente 0,7358 e mínimo de aproximadamente 0,3679.
  • Fronteira: máximo de aproximadamente 0,1465 e mínimo de aproximadamente 0,0733.

Resposta

O máximo de na região é aproximadamente nos pontos e , e o mínimo é aproximadamente na fronteira da região.

Exercícios relacionados

Encontre a integral de superfície , onde é a fronteira do sólido delimitada pelo cilindro e pelos planos e .
Resolver as seguintes equaçòes:
(b) .
Resp.: .
Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Encontre as integrais indefinidas: