Considere a função
. Encontre o máximo e mínimo de
sobre a região dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o máximo e o mínimo da função
dentro da região onde
. Isso está relacionado a otimização de funções de duas variáveis e envolve calcular derivadas parciais e analisar os pontos críticos tanto no interior quanto na fronteira da região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos no interior da região. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Então,
ou
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Então,
ou
.
Passo 5
Vamos analisar os casos:
-
Quando
: - Da equação
, temos . - Então, os pontos são
e .
- Da equação
-
Quando
: - Da equação
, temos . - Então, os pontos são
e .
- Da equação
-
Quando
e : - Subtraindo as duas equações:
, o que não tem solução. Então, não há outros pontos críticos além dos já encontrados.
- Subtraindo as duas equações:
Passo 6
Agora, vamos avaliar
nesses pontos críticos:
Passo 7
Também precisamos verificar os valores de
na fronteira da região, onde
. Para isso, podemos usar coordenadas polares, onde
e
.
Substituindo na função:
O termo
varia entre 0 e 4, então
na fronteira varia entre
e
.
Calculando:
Passo 8
Comparando todos os valores:
- Interno: máximo de aproximadamente 0,7358 e mínimo de aproximadamente 0,3679.
- Fronteira: máximo de aproximadamente 0,1465 e mínimo de aproximadamente 0,0733.
Resposta
O máximo de
na região é aproximadamente
nos pontos
e
, e o mínimo é aproximadamente
na fronteira da região.
Exercícios relacionados
Encontre a integral de superfície
, onde
é a fronteira do sólido delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Resolver as seguintes equaçòes:
(b) .
Resp.: .
(b)
Resp.:
Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Encontre as integrais indefinidas: