Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial homogênea para resolver:
Esse tipo de equação faz parte da matéria de Equações Diferenciais e Englobam funções que têm o mesmo grau. Vamos precisar usar uma substituição para simplificar e resolver essa equação. Bora passar para o próximo passo!
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para transformar essa equação em algo mais fácil de resolver. Como a equação é homogênea, a gente pode usar:
Aqui,
é uma nova variável que representa a razão entre
e
. Isso vai ajudar a simplificar a equação.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
e
. A gente deriva
em relação a
:
Isso nos ajuda a substituir
na equação original.
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original:
Simplificando isso:
Passo 5
Vamos simplificar os termos:
Agrupando os termos com
:
Passo 6
Dividimos toda a equação por
para simplificar:
Agora, temos uma equação que podemos separar as variáveis.
Passo 7
Vamos reorganizar para separar
e
:
Integrando ambos os lados:
Passo 8
Resolving as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, substituímos
de volta na equação:
Isso é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
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Resolver as seguintes equações diferenciais exatas: