Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
d(x^2 - y^2) dx + 2xy dy = 0

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial homogênea para resolver:
Esse tipo de equação faz parte da matéria de Equações Diferenciais e Englobam funções que têm o mesmo grau. Vamos precisar usar uma substituição para simplificar e resolver essa equação. Bora passar para o próximo passo!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para transformar essa equação em algo mais fácil de resolver. Como a equação é homogênea, a gente pode usar:
Aqui, é uma nova variável que representa a razão entre e . Isso vai ajudar a simplificar a equação.

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de e . A gente deriva em relação a :
Isso nos ajuda a substituir na equação original.

Passo 4

Vamos substituir e na equação original:
Simplificando isso:

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
Agrupando os termos com :

Passo 6

Dividimos toda a equação por para simplificar:
Agora, temos uma equação que podemos separar as variáveis.

Passo 7

Vamos reorganizar para separar e :
Integrando ambos os lados:

Passo 8

Resolving as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, substituímos de volta na equação:
Isso é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty ln nn
Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
c x^3 dx + y^3 dy = 0
Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
e (x^2 + x y) dx + (y^2 + x y) dy = 0
Resolver as seguintes equações diferenciais exatas:
(a) (3 x^2 y + 2 x y^2 + sen(y)) dx + (x^3 + 2 x^2 y + x cos(y)) dy = 0