Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial homogênea que é
. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente equações homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for o caso, integrar para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
-
(pois não depende de ) -
(pois não depende de )
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Para determinar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão de
:
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 4 para deixar mais bonito:
Onde
é uma nova constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
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