Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
c x^3 dx + y^3 dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial homogênea que é . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente equações homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for o caso, integrar para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
  • (pois não depende de )
  • (pois não depende de )
Como , a equação é exata.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 4

Para determinar , vamos derivar em relação a e igualar a :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos na expressão de :
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 4 para deixar mais bonito:
Onde é uma nova constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty ln nn
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d(x^2 - y^2) dx + 2xy dy = 0