Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Integral para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como elas se relacionam com séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Ele diz que, se temos uma série
, onde
e
é uma função contínua, positiva e decrescente para
(algum número natural
), então a série converge se e somente se a integral
converge.
Passo 3
No nosso caso,
. Vamos verificar se a função
atende às condições do teste:
- Continuidade: A função
é contínua para . - Positividade: Para
, e , então . - Monotonicidade: Vamos ver se a função é decrescente. Calculando a derivada:
Para , , então . Portanto, a função é decrescente para .
Passo 4
Como a função atende todas as condições do Teste da Integral, vamos calcular a integral
.
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição:
Então, a integral se torna:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o limite da integral imprópria:
Isso significa que a integral
diverge.
Resposta
A série
diverge.
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