Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty ln nn

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Integral para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como elas se relacionam com séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Ele diz que, se temos uma série , onde e é uma função contínua, positiva e decrescente para (algum número natural ), então a série converge se e somente se a integral converge.

Passo 3

No nosso caso, f'(x) = 1 cdot x - ln x cdot 1x^2 = x - ln xx^2 . Vamos verificar se a função atende às condições do teste:
  1. Continuidade: A função é contínua para .
  2. Positividade: Para , e , então .
  3. Monotonicidade: Vamos ver se a função é decrescente. Calculando a derivada: Para , , então . Portanto, a função é decrescente para .

Passo 4

Como a função atende todas as condições do Teste da Integral, vamos calcular a integral u = ln x Rightarrow du = 1x dx .
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição:
integral u , du = u^22 + C = (ln x)^22 + C
Então, a integral se torna:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o limite da integral imprópria:
limb to infty [ (ln b)^22 - (ln 1)^22 ] = limb to infty (ln b)^22 - 0 = infty
Isso significa que a integral diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
c x^3 dx + y^3 dy = 0
Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
(b) (x^2 - x*y) dx + (y^2 - x*y) dy = 0
Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
d(x^2 - y^2) dx + 2xy dy = 0
Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
e (x^2 + x y) dx + (y^2 + x y) dy = 0