Considere o campo vetorial
F(x, y, z) = (1/x + y*z, x*z + z*exp(y) + 1, x*y + exp(y) - 2*z)
(b) Justifique porque, apesar do resultado do item anterior, não podemos concluir que o campo F é conservativo;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
E o que a questão quer é a gente justificar por que, mesmo que no item anterior tenhamos achado algo que poderia indicar que esse campo é conservativo, na real a gente não pode concluir que ele é conservativo. Para entender isso, a gente precisa saber um pouco sobre campos conservativos e as condições que eles precisam satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele for o gradiente de uma função escalar. Uma das principais características de campos conservativos é que seu rotacional é zero, ou seja, . No item anterior, provavelmente a gente calculou o rotacional e deu zero, o que é um indicativo de que o campo pode ser conservativo.

Passo 3

Mas isso não é tudo! Para concluir que o campo é realmente conservativo, além do rotacional ser zero, também precisamos que o domínio do campo seja simplesmente conexo. Isso significa que o domínio não pode ter “buracos” ou “obstruções” que impeçam a existência de uma função potencial contínua.

Passo 4

No nosso caso, observando o componente 1/x de F, percebemos que o campo não está definido quando x = 0. Isso cria uma “obstrução” no espaço, ou seja, o domínio não é simplesmente conexo porque existe uma região (onde x = 0) que está faltando. Devido a isso, mesmo que o rotacional seja zero, a presença dessa obstrução impede que o campo seja conservativo.

Resposta

Portanto, apesar de o rotacional de F ser zero, o domínio do campo não é simplesmente conexo devido à presença de x = 0, o que impede que F seja conservativo.

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S1: A parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 com y <= 0
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S4 : A parte do plano 2 x + y + z = 2 que está no primeiro octante (x, y, z ≥ 0);
© Determine a equação do plano tangente à S3 (sela) no ponto 2, 1, 3.
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