Considere o campo vetorial
(b) Justifique porque, apesar do resultado do item anterior, não podemos concluir que o campo
é conservativo;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
E o que a questão quer é a gente justificar por que, mesmo que no item anterior tenhamos achado algo que poderia indicar que esse campo é conservativo, na real a gente não pode concluir que ele é conservativo. Para entender isso, a gente precisa saber um pouco sobre campos conservativos e as condições que eles precisam satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele for o gradiente de uma função escalar. Uma das principais características de campos conservativos é que seu rotacional é zero, ou seja,
. No item anterior, provavelmente a gente calculou o rotacional e deu zero, o que é um indicativo de que o campo pode ser conservativo.
Passo 3
Mas isso não é tudo! Para concluir que o campo é realmente conservativo, além do rotacional ser zero, também precisamos que o domínio do campo seja simplesmente conexo. Isso significa que o domínio não pode ter “buracos” ou “obstruções” que impeçam a existência de uma função potencial contínua.
Passo 4
No nosso caso, observando o componente
de
, percebemos que o campo não está definido quando
. Isso cria uma “obstrução” no espaço, ou seja, o domínio não é simplesmente conexo porque existe uma região (onde
) que está faltando. Devido a isso, mesmo que o rotacional seja zero, a presença dessa obstrução impede que o campo seja conservativo.
Resposta
Portanto, apesar de o rotacional de
ser zero, o domínio do campo não é simplesmente conexo devido à presença de
, o que impede que
seja conservativo.
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Considere as superfícies:
A parte da esfera
com
O cilindro elíptico
com
;
: A parte da sela
que está dentro do cilindro
;
: A parte do plano
que está no primeiro octante
;
© Determine a equação do plano tangente à (sela) no ponto
.
© Determine a equação do plano tangente à
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