Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
Estamos lidando com uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para integrar cada lado da equação. Para isso, vamos precisar usar técnicas de integração e entender como separar as variáveis de forma adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de uma forma que nos permita separar
e
. Vamos dividir ambos os lados por
:
Agora, lembrando que
, podemos reescrever a equação como:
Passo 3
Para separar as variáveis, queremos que todos os termos contendo
fiquem de um lado e os termos contendo
fiquem do outro. Vamos reorganizar a equação:
Assim, conseguimos separar
e
em lados opostos da equação.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo:
Aqui, notamos que
é tratado como uma constante em relação a
. Vamos fazer uma substituição para simplificar a integração. Seja:
Substituindo na integral:
Agora, integrando o lado direito:
Aqui,
é a variável de integração:
Passo 5
Igualando as integrais dos dois lados:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
onde
é uma constante positiva. Que níveis de nitrogênio e fósforo resultam na melhor colheita?
Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
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Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
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Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
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