Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
Estamos lidando com uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para integrar cada lado da equação. Para isso, vamos precisar usar técnicas de integração e entender como separar as variáveis de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de uma forma que nos permita separar e . Vamos dividir ambos os lados por :
Agora, lembrando que , podemos reescrever a equação como:

Passo 3

Para separar as variáveis, queremos que todos os termos contendo fiquem de um lado e os termos contendo fiquem do outro. Vamos reorganizar a equação:
Assim, conseguimos separar e em lados opostos da equação.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo:
Aqui, notamos que é tratado como uma constante em relação a . Vamos fazer uma substituição para simplificar a integração. Seja:
Substituindo na integral:
Agora, integrando o lado direito:
Aqui, é a variável de integração:

Passo 5

Igualando as integrais dos dois lados:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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onde é uma constante positiva. Que níveis de nitrogênio e fósforo resultam na melhor colheita?
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Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
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