Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação que é separável, ou seja, dá pra separar as variáveis
e
para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais clara:
Nosso objetivo é isolar
. Então, vamos rearranjar os termos:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Observe que a equação está separando as variáveis
e
. Vamos reescrever de forma a separar
de
:
Aqui, dividimos ambos os lados por
e por
para separar as variáveis.
Passo 4
Agora, vamos integrar os dois lados da equação:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Integral do lado esquerdo:
Vamos simplificar a fração:
Então,
Integral do lado direito:
Vamos simplificar a fração:
Vamos resolver cada parte:
Para a segunda parte, usamos frações parciais:
Então,
Juntando tudo:
Passo 6
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Onde
é a constante de integração que abrange
e
.
Passo 7
Para deixar a solução mais organizada, podemos escrever de maneira implícita:
Esta é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
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Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
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Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
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