Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação que é separável, ou seja, dá pra separar as variáveis e para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais clara:
Nosso objetivo é isolar . Então, vamos rearranjar os termos:
Agora, isolamos :

Passo 3

Observe que a equação está separando as variáveis e . Vamos reescrever de forma a separar de :
Aqui, dividimos ambos os lados por e por para separar as variáveis.

Passo 4

Agora, vamos integrar os dois lados da equação:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Integral do lado esquerdo:
Vamos simplificar a fração:
Então,
Integral do lado direito:
Vamos simplificar a fração:
Vamos resolver cada parte:
Para a segunda parte, usamos frações parciais:
Então,
Juntando tudo:

Passo 6

Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Onde é a constante de integração que abrange e .

Passo 7

Para deixar a solução mais organizada, podemos escrever de maneira implícita:
Esta é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
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Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
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Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
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