onde
é uma constante positiva. Que níveis de nitrogênio e fósforo resultam na melhor colheita?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que representa a colheita, dada por
, onde
é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é descobrir quais níveis de nitrogênio (
) e fósforo (
) vão resultar na melhor colheita possível. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente, otimização de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função que temos:
. Queremos encontrar os valores de
e
que fazem essa função atingir o seu valor máximo. Isso é chamado de otimização da função.
Para fazer isso, vamos usar derivadas parciais. As derivadas parciais mostram como a função muda quando variamos uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essas derivadas são iguais a zero, pois esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
Simplificando, fica:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essa derivada a zero:
Como
e
são sempre positivos, isso implica que
. Portanto, ou
ou
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando, fica:
Igualando a derivada a zero:
Novamente,
e
são positivos, então
. Assim, ou
ou
.
Passo 5
Agora, vamos analisar as soluções que encontramos:
-
Se
, substituímos na equação , o que dá , válido para qualquer . Mas pela outra equação, . -
Se
, substituímos na equação , o que dá , válido para qualquer . Mas pela outra equação, .
Portanto, o único ponto que satisfaz ambas as equações é
e
.
Resposta
Os níveis de nitrogênio e fósforo que resultam na melhor colheita são
e
.
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