onde é uma constante positiva. Que níveis de nitrogênio e fósforo resultam na melhor colheita?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que representa a colheita, dada por , onde é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é descobrir quais níveis de nitrogênio ( ) e fósforo ( ) vão resultar na melhor colheita possível. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente, otimização de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função que temos: . Queremos encontrar os valores de e que fazem essa função atingir o seu valor máximo. Isso é chamado de otimização da função.
Para fazer isso, vamos usar derivadas parciais. As derivadas parciais mostram como a função muda quando variamos uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essas derivadas são iguais a zero, pois esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
Simplificando, fica:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essa derivada a zero:
Como e são sempre positivos, isso implica que . Portanto, ou ou .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Simplificando, fica:
Igualando a derivada a zero:
Novamente, e são positivos, então . Assim, ou ou .

Passo 5

Agora, vamos analisar as soluções que encontramos:
  1. Se , substituímos na equação , o que dá , válido para qualquer . Mas pela outra equação, .
  2. Se , substituímos na equação , o que dá , válido para qualquer . Mas pela outra equação, .
Portanto, o único ponto que satisfaz ambas as equações é e .

Resposta

Os níveis de nitrogênio e fósforo que resultam na melhor colheita são e .

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