Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
y ln(x) dx + (1 + 2y) dy = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que a gente consegue separar as partes que envolvem das que envolvem . Para resolver, vamos precisar usar integração, que é basicamente encontrar a antiderivada de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . Podemos fazer isso dividindo tudo por para facilitar:
Agora, isolamos :
Então, dividimos ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados agora. A integração é como “desfazer” a derivada para encontrar a função original.
  • Integramos o lado esquerdo:
  • Integramos o lado direito:
Para integrar , usamos integração por partes:
então,

Passo 5

Agora, juntamos as integrais e adicionamos a constante de integração :
Podemos deixar a resposta assim ou rearranjar conforme preferir.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados