Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que a gente consegue separar as partes que envolvem
das que envolvem
. Para resolver, vamos precisar usar integração, que é basicamente encontrar a antiderivada de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Podemos fazer isso dividindo tudo por
para facilitar:
Agora, isolamos
:
Então, dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados agora. A integração é como “desfazer” a derivada para encontrar a função original.
- Integramos o lado esquerdo:
- Integramos o lado direito:
Para integrar
, usamos integração por partes:
então,
Passo 5
Agora, juntamos as integrais e adicionamos a constante de integração
:
Podemos deixar a resposta assim ou rearranjar conforme preferir.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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.
onde
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