Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente tem uma equação diferencial que precisa ser transformada em uma equação exata usando fatores integrantes. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais, especificamente sobre como tornar uma equação não exata em exata usando fatores integrantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são equações exatas e como aplicar o fator integrante corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que temos:
E o fator integrante sugerido é:
Nossa missão é multiplicar toda a equação por esse fator integrante para torná-la exata.
Passo 3
Vamos multiplicar cada termo da equação original pelo fator integrante:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Então, a equação simplificada fica:
Passo 5
Parece complicado, né? Mas vamos organizar isso melhor. Observamos que o terceiro termo simplificado,
, é a parte original da equação antes de multiplicarmos pelo fator integrante. Isso sugere que algo não está certo na simplificação, então vamos revisar.
Na verdade, uma melhor abordagem é multiplicar diretamente o fator integrante
na equação original e reescrever a equação resultante.
Passo 6
Multiplicando a equação original pelo fator integrante
:
Distribuindo
:
Simplificando cada termo:
Mas para simplificar melhor, percebemos que o fator integrante foi escolhido para tornar a equação exata. Então, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a identificação de P(t,y) e Q(t,y).
Passo 7
Vamos reescrever a equação original:
Podemos fatorar
:
Isso nos sugere que ou
ou
. Porém, para resolver usando fator integrante, seguimos com a multiplicação pelo
.
Passo 8
Voltando à multiplicação pelo fator integrante:
Distribuindo e simplificando:
Passo 9
Agora, reorganizamos a equação para identificar
e
, que serão os coeficientes de
e
respectivamente na forma
:
Isso simplifica para uma exata forma onde:
Passo 10
Com
e
definidos, verificamos se a equação é exata. Para isso, verificamos se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não era exata inicialmente, o que indica que precisamos revisar a aplicação do fator integrante.
Passo 11
Vamos reconsiderar o fator integrante. Geralmente, o fator integrante
é escolhido para multiplicar a equação de forma que ela se torne exata. Dado que
, aplicamos corretamente:
Multiplicando cada termo por
:
Simplificando:
Aqui, percebemos que o termo
, que permanece na equação, confirmando que temos a forma exata.
Passo 12
Com a equação agora exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
somente.
Passo 13
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 14
Portanto, a função potencial
é:
Simplificando:
Passo 15
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é quando
. Então:
Podemos reescrever isso como:
Como
é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la. Portanto, a solução geral é:
Onde
é uma nova constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.