Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
t * y' + y + t^4 * y^4 * (t * y' + y) = 0; mu = 1 / (t^4 * y^4).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente tem uma equação diferencial que precisa ser transformada em uma equação exata usando fatores integrantes. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais, especificamente sobre como tornar uma equação não exata em exata usando fatores integrantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são equações exatas e como aplicar o fator integrante corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que temos:
E o fator integrante sugerido é:
Nossa missão é multiplicar toda a equação por esse fator integrante para torná-la exata.

Passo 3

Vamos multiplicar cada termo da equação original pelo fator integrante:
Substituindo mu:

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Então, a equação simplificada fica:

Passo 5

Parece complicado, né? Mas vamos organizar isso melhor. Observamos que o terceiro termo simplificado, , é a parte original da equação antes de multiplicarmos pelo fator integrante. Isso sugere que algo não está certo na simplificação, então vamos revisar.
Na verdade, uma melhor abordagem é multiplicar diretamente o fator integrante mu na equação original e reescrever a equação resultante.

Passo 6

Multiplicando a equação original pelo fator integrante :
Distribuindo mu:
Simplificando cada termo:
Mas para simplificar melhor, percebemos que o fator integrante foi escolhido para tornar a equação exata. Então, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a identificação de P(t,y) e Q(t,y).

Passo 7

Vamos reescrever a equação original:
Podemos fatorar :
Isso nos sugere que ou ou . Porém, para resolver usando fator integrante, seguimos com a multiplicação pelo mu.

Passo 8

Voltando à multiplicação pelo fator integrante:
Distribuindo e simplificando:

Passo 9

Agora, reorganizamos a equação para identificar e , que serão os coeficientes de e respectivamente na forma :
Isso simplifica para uma exata forma onde:

Passo 10

Com e definidos, verificamos se a equação é exata. Para isso, verificamos se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não era exata inicialmente, o que indica que precisamos revisar a aplicação do fator integrante.

Passo 11

Vamos reconsiderar o fator integrante. Geralmente, o fator integrante mu é escolhido para multiplicar a equação de forma que ela se torne exata. Dado que , aplicamos corretamente:
Multiplicando cada termo por mu:
Simplificando:
Aqui, percebemos que o termo , que permanece na equação, confirmando que temos a forma exata.

Passo 12

Com a equação agora exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Integrando em relação a t:
Onde g(y) é uma função de y somente.

Passo 13

Agora, derivamos em relação a y e igualamos a para encontrar g(y):
Resolvendo para :
Integrando em relação a y:
Onde C é a constante de integração.

Passo 14

Portanto, a função potencial é:
Simplificando:

Passo 15

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é quando . Então:
Podemos reescrever isso como:
Como C é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la. Portanto, a solução geral é:
Onde K é uma nova constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde K é uma constante arbitrária.

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