Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação:
O que precisamos fazer aqui é encontrar um fator integrante para essa equação. Fatores integrantes ajudam a transformar equações diferenciais que não são exatas em equações exatas, o que facilita bastante a resolução. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de primeira ordem e como verificar se elas são exatas ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que multiplique a equação para torná-la exata.
Passo 3
Para encontrar o fator integrante, podemos tentar uma função que depende apenas de
ou apenas de
. Vamos supor que o fator integrante seja uma função de
, ou seja,
.
Uma condição para isso é:
Vamos calcular:
Isso é complicado para ser igual a
, então vamos tentar outra abordagem: buscar um fator que seja uma função de
,
.
Passo 4
Vamos assumir que o fator integrante depende apenas de
,
. A condição para que a equação seja exata após multiplicarmos por
é:
Simplificando e resolvendo, encontramos que o fator integrante é:
Isso ainda é complicado, então vamos tentar outra estratégia. Vamos procurar um fator integrante que seja uma função simples, como
. Após tentar alguns valores, descobrimos que multiplicar a equação por
simplifica as coisas.
Passo 5
Multiplicando a equação original por
, temos:
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a equação é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Ainda não é exata, mas podemos ver que multiplicar por
novamente pode ajudar. Vamos tentar.
Passo 6
Multiplicando a equação anterior por
, temos:
Perdão, voltamos à equação original. Parece que precisamos de uma abordagem diferente. Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de
.
Passo 7
Vamos supor que
. Multiplicando a equação original por
:
Para que a equação seja exata, deve-se satisfazer:
Calculando as derivadas:
Igualando:
Então, o fator integrante é
.
Passo 8
Multiplicando a equação original por
:
Agora, a equação é exata. Podemos encontrar uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando, temos:
Então, a função
é:
Resposta
A solução da equação diferencial é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
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Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
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Modele e resolva os problemas abaixo.
Uma bola de naftalina evapora, de modo que o volume diminui com uma taxa proporcional à raiz cúbica do volume elevado ao quadrado. Sendo a constante de proporcionalidade e
o volume inicial da bola, determine o volume
ao longo do tempo. Após quanto tempo a bola terá evaporado por completo?
Uma bola de naftalina evapora, de modo que o volume diminui com uma taxa proporcional à raiz cúbica do volume elevado ao quadrado. Sendo
Resolva cada uma dos PVIs seguintes: