Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação:
O que precisamos fazer aqui é encontrar um fator integrante para essa equação. Fatores integrantes ajudam a transformar equações diferenciais que não são exatas em equações exatas, o que facilita bastante a resolução. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de primeira ordem e como verificar se elas são exatas ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que multiplique a equação para torná-la exata.

Passo 3

Para encontrar o fator integrante, podemos tentar uma função que depende apenas de ou apenas de . Vamos supor que o fator integrante seja uma função de , ou seja, .
Uma condição para isso é:
Vamos calcular:
Isso é complicado para ser igual a , então vamos tentar outra abordagem: buscar um fator que seja uma função de , .

Passo 4

Vamos assumir que o fator integrante depende apenas de , . A condição para que a equação seja exata após multiplicarmos por é:
Simplificando e resolvendo, encontramos que o fator integrante é:
Isso ainda é complicado, então vamos tentar outra estratégia. Vamos procurar um fator integrante que seja uma função simples, como . Após tentar alguns valores, descobrimos que multiplicar a equação por simplifica as coisas.

Passo 5

Multiplicando a equação original por , temos:
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a equação é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Ainda não é exata, mas podemos ver que multiplicar por novamente pode ajudar. Vamos tentar.

Passo 6

Multiplicando a equação anterior por , temos:
Perdão, voltamos à equação original. Parece que precisamos de uma abordagem diferente. Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de .

Passo 7

Vamos supor que . Multiplicando a equação original por :
Para que a equação seja exata, deve-se satisfazer:
Calculando as derivadas:
Igualando:
Então, o fator integrante é .

Passo 8

Multiplicando a equação original por :
Agora, a equação é exata. Podemos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando, temos:
Então, a função é:

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por:
Onde é uma constante arbitrária.

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