Resolver as seguintes integrais:
DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema que temos é calcular a integral
. A matéria que estamos usando aqui se chama Decomposição em Frações Parciais, que é uma técnica para simplificar integrais racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver isso, vamos precisar quebrar a fração original em partes menores que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração
como a soma de frações parciais. Como o denominador tem um fator linear
e um fator quadrático
elevado ao quadrado, a decomposição será da seguinte forma:
Aqui,
,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por
:
Essa equação deve valer para todos os valores de
, então podemos escolher valores estratégicos de
para encontrar as constantes.
Passo 4
Vamos escolher
para simplificar a equação:
Agora temos
.
Passo 5
Para encontrar as outras constantes, vamos expandir a equação original:
Agora, vamos distribuir e organizar os termos por potências de
:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Como os polinômios devem ser iguais, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais em ambos os lados. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
-
(para ) -
(para ) -
(para ) -
(para ) -
(termos constantes)
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
- Da quarta equação:
- Da quinta equação:
, o que confirma nossos valores.
Portanto, temos:
Passo 7
Agora que temos as constantes, vamos escrever a decomposição completa:
Simplificando, fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos resolver cada integral:
-
-
- Dividindo em duas integrais:
-
(usando substituição ) -
-
- Juntando:
- Dividindo em duas integrais:
-
- Dividindo em duas integrais:
-
(usando substituição ) -
(usando uma fórmula padrão de integrais)
-
- Juntando:
- Dividindo em duas integrais:
Passo 9
Agora, vamos juntar todas as partes:
Simplificando os sinais:
Agrupando termos semelhantes:
Resposta
Portanto, a integral é:
onde
é a constante de integração.