Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

integral d x(x-1)(x^2+1)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema que temos é calcular a integral . A matéria que estamos usando aqui se chama Decomposição em Frações Parciais, que é uma técnica para simplificar integrais racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver isso, vamos precisar quebrar a fração original em partes menores que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração 1(x-1)(x^2+1)^2 = Ax-1 + Bx + Cx^2+1 + Dx + E(x^2+1)^2 como a soma de frações parciais. Como o denominador tem um fator linear e um fator quadrático elevado ao quadrado, a decomposição será da seguinte forma:
Aqui, , , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por 1 = A(x^2+1)^2 + (Bx + C)(x-1)(x^2+1) + (Dx + E)(x-1) :
Essa equação deve valer para todos os valores de , então podemos escolher valores estratégicos de para encontrar as constantes.

Passo 4

Vamos escolher 1 = A(1^2+1)^2 + (B cdot 1 + C)(1-1)(1^2+1) + (D cdot 1 + E)(1-1) para simplificar a equação:
1 = A(2)^2
1 = 4A implies A = 14
Agora temos .

Passo 5

Para encontrar as outras constantes, vamos expandir a equação original:
1 = 14(x^4 + 2x^2 + 1) + (Bx + C)(x^3 - x^2 + x -1) + (Dx + E)(x -1)
Agora, vamos distribuir e organizar os termos por potências de 1 = 14x^4 + 12x^2 + 14 + Bx^4 - Bx^3 + Bx^2 - Bx + Cx^3 - Cx^2 + Cx - C + Dx^2 - Dx + Ex - E :
1 = (14 + B)x^4 + (-B + C)x^3 + (12 + B - C + D)x^2 + (-B + C - D + E)x + (14 - C - E)
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Como os polinômios devem ser iguais, os coeficientes de cada potência de devem ser iguais em ambos os lados. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. (para )
  2. (para )
  3. (para )
  4. (para )
  5. (termos constantes)

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da terceira equação:
  4. Da quarta equação:
  5. Da quinta equação: , o que confirma nossos valores.
Portanto, temos:

Passo 7

Agora que temos as constantes, vamos escrever a decomposição completa:
1(x-1)(x^2+1)^2 = 14x-1 + -14x - 14x^2+1 + -12x - 12(x^2+1)^2
Simplificando, fica:
1(x-1)(x^2+1)^2 = 14(x-1) - x + 14(x^2+1) - x + 12(x^2+1)^2

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral dx(x-1)(x^2+1)^2 = integral 14(x-1) dx - integral x + 14(x^2+1) dx - integral x + 12(x^2+1)^2 dx
Vamos resolver cada integral:
    • Dividindo em duas integrais:
      • (usando substituição )
    • Juntando:
    • Dividindo em duas integrais:
      • (usando substituição )
      • (usando uma fórmula padrão de integrais)
    • Juntando:

Passo 9

Agora, vamos juntar todas as partes:
integral dx(x-1)(x^2+1)^2 = 14 ln|x-1| - (18 ln|x^2+1| + 14 tan^-1(x)) - (-14(x^2+1) + 14 tan^-1(x) + x2(x^2+1)) + C
Simplificando os sinais:
= 14 ln|x-1| - 18 ln|x^2+1| - 14 tan^-1(x) + 14(x^2+1) - 14 tan^-1(x) - x2(x^2+1) + C
Agrupando termos semelhantes:
= 14 ln|x-1| - 18 ln|x^2+1| - 12 tan^-1(x) + 14(x^2+1) - x2(x^2+1) + C

Resposta

Portanto, a integral é:
integral dx(x-1)(x^2+1)^2 = 14 ln|x-1| - 18 ln|x^2+1| - 12 tan^-1(x) + 14(x^2+1) - x2(x^2+1) + C
onde é a constante de integração.

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