Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O enunciado nos dá duas EDOs ligadas entre si:
Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares de EDOs com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema. Esses elementos nos ajudarão a montar a solução geral das funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema na forma matricial. Podemos escrever o sistema como:

[



]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Para encontrar os autovalores ( ) dessa matriz, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular o determinante:
Simplificando:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos um autovalor duplo: .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente a . Substituímos na equação :

[



]
Da primeira equação: .
Podemos escolher , então . Assim, o autovetor é:
Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar uma solução geral que leva isso em conta. A solução geral para sistemas com autovalores repetidos é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes que podem ser encontradas a partir de condições iniciais específicas.

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.
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